59- Um tetaedro regular tem seis arestas de comprimento a . Uma força P é dirigida ao longo da aresta B C , como mostrada na figura. Determine o momento de P em relação a aresta O A .

Passo 1

A essa altura do livro espero que você já tenha entendido um pouco sobre como se calcula o momento em relação a um eixo (ou a uma linha), sabemos que precisaremos de três vetores. O vetor diretor do eixo que queremos calcular o momento, um momento de distância relativa de um ponto do vetor onde encontra-se a força para um ponto do eixo onde queremos calcular o momento e o vetor da força. Bem, com isso vamos escolher os vetores que usaremos:

Vetor onde queremos saber o momento O A

Vetor de distância relativa: λ O B

Vetor onde se encontra a força B C

Sabendo que todos os lados do tetraedro são iguais, isso nos diz que todos os triângulos formados na figura são equiláteros podendo ser desenhados da seguinte forma:

Assumindo que o eixo O A tem coordenadas nos três eixos (por que no desenho não fica claro né)

Pois a altura de um tetraedro regular é a 6 3

Passo 2

Das figuras do passo 1 conseguimos tirar os vetores que precisamos:  

r O B = a cos ⁡ 60 i + 0 j + a sin ⁡ 60 k = a 2 i + 3 a 2 k

Agora para o vetor força:

F B C = P a - a 2 i + 0 j - a 3 2 k a

Lembrando que F se normaliza também.

E o vetor λ O A será calculado da seguinte forma:

λ O A x = acos ⁡ 60 a = 1 2    

λ O A y = a 6 3 a = 6 3

λ O A x 2 + λ O A y 2 + λ O A z 2 = 1

1 4 + 6 9 + λ O A z 2 = 1

λ O A z 2 = 1 - 1 4 - 6 9 = 1 12

λ O A z 2 = 1 12 = 1 2 3

Passo 3

Montando a matriz nós teremos:

M = P 1 2 6 3 1 2 3 a 2 0 3 a 2 1 2 0 - 3 2

Resolvendo essa determinante nós temos:

M = a P 2

Resposta

M = a P 2

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