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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 22

A aceleração de uma partícula é definida pela relação a = - k v onde k é uma constante. Sabendo que x = 0   e   v = 81   m / s em t = 0 ,   e   q u e   v = 36   m / s quando x = 18   m , determine (a) a velocidade da partícula quando x = 20   m , (b) o tempo necessário para que a partícula atinja o repouso.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha? O enunciado pede que a gente determine a velocidade da partícula quando x = 20   m , o tempo necessário para que a partícula atinja o repouso.

  1. Temos: v d v d x = a = - k v

    2. De modo a: v   d v = - k d x

    Quando: x = 0 ,   v = 81 m s ∫ 81 v v   d v = ∫ 0 x - k d x

    Ou 2 3   x   [ v 3 / 2 ] 81 v = - k x

    Ou 2 3   x   [ v 3 / 2 - 729 ] = - k x

    Quando: x = 18 m ,   v = 36 m / s :   2 3   x   ( 36 3 / 2 - 729 ) = - k   x   ( 18 )

    Ou k = 19 m / s

    Finalmente

    Quando x = 20 m : 2 3   x   ( v 3 / 2 - 729 ) = - 19   x   ( 20 )

    Ou v 3 / 2 = 159

    Passo 2

  2. Temos: d v d t = a = - 19 v

Em t = 0 ,   v = 81 m / s ∫ 81 v d v v = ∫ 0 v - 19 d t

Ou 2   x   [ v ] 81 v = - 19 t

Ou 2   x   v - 9 = - 19 t

Quando v = 0 : 2   x   - 9 = - 19 t

Resposta

  1. v = 29,3   m / s
  2. t = 0,947   s
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