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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 53

53. Para afrouxar uma válvula congelada, uma força F de intensidade 300   N é aplicada na alavanca da válvula. Sabendo que θ = 25 ° , M x = - 83   N ⋅ m , e M z = - 58   N ⋅ m , determine Փ e d .

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir a expressão de momento em relação a origem como sendo:

∑ M → O = r → A / 0 × F → = M O

Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância O A → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal esse segmento é o vetor posição r → A / 0 . Para isso, basta observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto A está nas coordenadas ( - 100 ; 280 ; - d ) em milímetros e o ponto   O , que é a nossa origem, encontra-se nas coordenadas ( 0 ; 0 ; 0 ) . Com isso, para achar O A → basta fazer a diferença entre as coordenadas de A e as coordenadas de O :

  O A → = - 100 - 0 i ^ + 280 - 0 j ^ + ( - d - 0 ) k ^

O A → = - 100 i ^ + 280 j ^ - d k ^   m m

Passo 2

Achada o nosso vetor O A → vem aí a parte mais difícil. Olha só a figura novamente:

A força F faz um ângulo θ com o plano horizontal e depois um ângulo   Փ com aquela retazinha que está na figura. Isso quer dizer que teremos que decompor F duas vezes para encontrar as coordenadas em termos de i ^ , j ^   e k ^ . Façamos isso:

F → = ( Fcos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) i ^ - ( F sen ⁡ θ ) j ^   + ( Fcos ⁡ θ sen ⁡ Փ ) k ^

E como F = 300   N e θ = 25 ° :

F → = ( 300 cos ⁡ 25 ° cos ⁡ Փ ) i ^ - ( 300 sen ⁡ 25 ° ) j ^   + ( 300 cos ⁡ 25 ° sen ⁡ Փ ) k ^

F → = ( 271,9 cos ⁡ Փ ) i ^ - ( 126,8 ) j ^ + ( 271,9 sen ⁡ Փ ) k ^

Passo 3

A questão já nos fornece o momentos em relação aos eixos x e z provenientes da força exercida F . Ora bolas; tudo que temos que fazer agora é relacionar esses momento já fornecidos com a expressão geral do momento que queremos encontrar, especificamente para os eixos x e z .

Apliquemos a definição de momento:

∑ M → O = r → A / 0 × F → = M O

Onde temos que:

r → A / O = O A → = - 100 i ^ + 280 j ^ - d k ^   m m

r → A / O = O A → = - 0,100 i ^ + 0,280 j ^ - 0,001 d k ^   m

F → = ( 271,9 cos ⁡ Փ ) i ^ - ( 126,8 ) j ^ + ( 271,9 sen ⁡ Փ ) k ^

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M → = r → A / O × F →

M → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x A y A z A F x F y F z

M → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ - 0 , 100 0 , 280 - 0,001 d 271,9 cos ⁡ Փ - 126,8 271,9 sen ⁡ Փ

M → = ⁡ i ^ j ^ k ^ - 0,100 0,280 - 0,001 d 271,9 cos ⁡ Փ - 126,8 271,9 sen ⁡ Փ       i ^ j ^ - 0,100 0,280 271,9 cos ⁡ Փ - 126,8      

M → = 76,13 sen ⁡ Փ i ^ - 0,272 d j ^ + 12,68 k ^ - 76,13 cos ⁡ Փ k ^ - 0,127 d i ^ + 27,19 sen ⁡ Փ j ^   N ⋅ m

Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente do momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; ( i ^ ) para o eixo x ; ( j ^ ) para o eixo y e ( k ^ ) para o eixo z :

M x = 76,13 sen ⁡ Փ - 0,127 d i ^       N ⋅ m

M y = 27,19 sen ⁡ Փ - 0,272 d j ^     N ⋅ m

M z = ( 12,68 - 76,13 cos ⁡ Փ ) k ^     N ⋅ m

E como sabemos que M x = - 83   N ⋅ m , e M z = - 58   N ⋅ m , vamos tratar de determinar Փ e d .

Primeiro façamos o cálculo, trabalhando com M z para encontrar nosso ângulo:

M z = ( 12,68 - 76,13 cos ⁡ Փ ) k ^     N ⋅ m

- 58   N ⋅ m = 12,68 - 76,13 cos ⁡ Փ   N ⋅ m

- 58 = 12,68 - 76,13 cos ⁡ Փ

- 70,68 = - 76,13 cos ⁡ Փ

cos ⁡ Փ = 70,68 76,13

Փ = cos - 1 ⁡ 70,68 76,13

Փ ≅ 21,8 °

E depois, trabalhando com M x , podemos encontrar o valor de d :

M x = 76,13 sen ⁡ Փ - 0,127 d i ^       N ⋅ m

- 83   N ⋅ m = 76,13 sen ⁡ Փ - 0,127 d i ^       N ⋅ m

- 83   = 76,13 sen ⁡ Փ - 0,127 d

- 83   = 76,13 sen ⁡ 21,8 ° - 0,127 d

0,127 d = 76,13 sen ⁡ 21,8 ° + 83

d = 76,13 sen ⁡ 21,8 ° + 83 0,127 d

d ≅ 876,16   m m ≅ 0,876   m

Resposta

Փ ≅ 21,8 °

d ≅ 876,16   m m ≅ 0,876   m

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