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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 40

A altura de uma colina em metros é fornecida por z = 2 x y - 3 x 2 - 4 y 2 - 18 x + 28 y + 12 , onde x é a distância a leste é y é a distância a norte da origem. (a) Onde se encontra o cume da colina e qual é a sua altura? (b) Qual é o declive da colina em x = y = 1 , ou seja, qual é o ângulo entre um vetor perpendicular à colina e o eixo z ? (c) Em qual direção da bússola se encontra a inclinação mais íngreme em x = y = 1 ?

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra última questão do nosso capítulo!

Letra (a)

Bem pessoal, primeiramente temos que no topo da colina, o valor de z é máximo. Logo:

0 = ∂ z ∂ x = 2 y - 6 x - 18

E

0 = ∂ z ∂ y = 2 x - 8 y + 2 8

Então x = - 2 ; y = 3 e a altura máxima da colina é z m a x = 72   m .

Na verdade, é o valor máximo de z porque a equação dada de z implica que, para cada valor de x ou y , z descreve uma parábola invertida em função da variável x ou y .

Passo 2

Letra (b)

Para o item (b) temos que no ponto A: x = y = 1 , z = 13 . Neste ponto, dois dos vetores tangentes à superfície da colina são:

t 1 = 1,0 , ∂ z ∂ x | 1,1 = ( 1,0 , - 8 )

E

t 2 = 0 , 1 , ∂ z ∂ y | 1,1 = ( 0 , 1 , 22 )

Evidentemente t 1 × t 2 = ( 8 , - 22,1 ) é perpendicular à superfície da colina, e o ângulo θ entre este eixo O z é:

cos ⁡ θ = 0,0 , 1 ∙ 8 , - 22,1 8 2 + 22 2 + 1 1 = 1 23,43

Então temos:

θ = 87,55 °

Passo 3

Letra (c)

Supomos agora que na direção a (em relação ao eixo leste - oeste), no ponto A = 1,1 , 13 a colina é mais íngreme. Evidentemente, d y = tan ⁡ ( α ) d x e:

d z = 2 x d y + 2 y d x - 6 x d x - 8 y d y - 18 d x + 28 d y = 22 ( tan ⁡ α - 1 ) d x

Então:

tan ⁡ β = d x 2 + d y 2 d z = d x / cos ⁡ α 22 ( tan ⁡ α - 1 ) d x = - 1 22 2 cos ⁡ ( α + 45 )

Dessa forma a colina é mais íngreme quando tan ⁡ β é mínimo, e isso acontece quando α = - 45 ° com relação ao eixo leste – oeste. Note também que α = 135   não nos resulta uma resposta física).

E assim a gente finaliza mais uma questão, te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

v e r   p a s s o   a   p a s s o

Letra (b)

θ = 87,55 °

Letra (c)

v e r   p a s s o   a   p a s s o

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