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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 39

Um barco com velocidade inicial é empurrado em um lago. Ele tem a sua velocidade reduzida pela água por uma força F = - α e β v .

  1. Determine uma expressão para a velocidade v(t).
  2. Determine o tempo para o barco parar.
  3. A distância percorrida pelo barco até parar.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Item a

Para responder ao questionamento do enunciado usaremos equações diferenciais separáveis:

F = - α e β v = > m d v d t = - α e β v = > d v e β v = - α m d t

Integrando ambos os lados da equação:

∫ e - β v d v = - α m ∫ d t = > - 1 β e - β v = - α m t + c

Como em t = 0, v = v0, temos:

- 1 β e - β v 0 = c

Daí, temos que:

- 1 β e - β v = - α m t - 1 β e - β v 0 = > 1 β e - β v - e - β v 0 = α m t

Resolvendo para v:

v t = - 1 β ln ⁡ α β m t + e - β v 0

Passo 2

Item b

Para determinarmos o tempo pedido temos que v = 0:

- 1 β ln ⁡ α β m t + e - β v 0 = 0 = > α β m t + e - β v 0 = 1 = > α β m t = 1 - e - β v 0

= > t = m α β 1 - e - β v 0

Passo 3

Item c

Do item a temos:

d x d t = - 1 β ln ⁡ α β m t + e - β v 0 = > d x = - 1 β ln ⁡ α β m t + e - β v 0 d t

Usando

∫ ln ⁡ a x + b d x = a x + b a ln ⁡ ( a x + b ) - x

Teremos:

x + c = - 1 β α β m t + e - β v 0 ln ⁡ α β m t + e - β v 0 α β m - t

Tendo x = 0 em t = 0, temos para c:

c = m v 0 α β e - β v 0

Logo:

x = - m v 0 α β e - β v 0 + t β - m α β 2 α β m t + e - β v 0 ln ⁡ α β m t + e - β v 0

Substituindo o tempo necessário para parar, obtido no item b, teremos para a distância x:

x = - m v 0 α β e - β v 0 + m α β 1 - e - β v 0 β - m α β 2 α β m ∙ m α β 1 - e - β v 0 + e - β v 0

ln ⁡ α β m ∙ m α β 1 - e - β v 0 + e - β v 0

x = m α β - v 0 e - β v 0 + m α β ∙ 1 β 1 - e - β v 0 + 0

= > x = m α β 1 β - e - β v 0 v 0 + 1 β

Resposta

Ver passo a passo.

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