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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 34

Uma partícula é liberada do repouso y = 0 e cai sob a influência da gravidade e da resistência do ar. Determine o relacionamento entre v , e a distância de queda y , quando a resistência do ar for igual a (a) α v e (b) β v 2 .

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente para o caso em que temos a resistência do ar igual a α v , aplicaremos a segunda lei de Newton, o que nós dar:

m y ¨ = m g - α v

m y ˙ m g - α y ˙ = d t

Por integração, teremos:

- m α ln ⁡ m g - α y ˙ = t + C

Onde C é uma constante de integração.

Em t = 0 nós temos y ˙ = 0 assim, por substituição ficamos com:

C = - m α ln ⁡ m g

Portanto, temos:

- α t m = ln ⁡ 1 - α y ˙ m g

Fazendo a exponencial para ambos os lados da equação, teremos:

e - α t m =   1 - α y ˙ m g

Resolvendo em função de t , temos:

t = - m α ln ⁡   1 - α y ˙ m g

Reorganizando os termos, temos então que:

y ˙ = m g α 1 - e - α t m

Integraremos novamente a equação:

y = m g α t + m α e - α t m + B

Em que B é a nova constante de integração.

Em t = 0 nós temos y = 0 assim, portanto por substituição ficamos com:

B = - m 2 g α 2

Assim temos:

y = m g α ( t - m α + m α e - α t m )

Por substituição, para o item (a) ficaremos com:

y = - m α y ˙ + m g α ln ⁡ 1 - α y ˙ m g

Passo 2

Letra (b)

Agora para o caso em que temos a resistência do ar igual a β v 2 . Temos que: F r = β v 2 .

A equação do movimento fica:

m d v d t = m g - β v 2

m d v m g - β v 2 = d t

Integraremos a equação e aplicaremos as condições iniciais em que v = 0 e t = 0 :

∫ d v m g β - v 2 = β m ∫ d t

Pela a tabela de integrais, sabemos que: ∫ d x a 2 - x 2 = 1 a tanh - 1 ⁡ x a , então:

1 a tanh - 1 ⁡ v a = β m t + C onde a = m g β

1 α tanh - 1 ⁡ 0 = 0 = 0 + C

Então:

1 a tanh - 1 ⁡ v a = β m t

Resolvendo a equação para v , temos:

v = a tanh ⁡ a β t m

d y d t = a tanh ⁡ a β t m

Pela tabela de integrais novamente, temos: ∫ tanh ⁡ u d u = ln ⁡ cosh ⁡ u , assim:

y + C = m β ln ⁡ cosh ⁡ a β t m

Aplicando as condições: y = 0 e t = 0

C = m β ln ⁡ cosh ⁡ 0 = m β ln ⁡ 1 = 0

Então:

y = m β ln ⁡ cosh ⁡ a β t m

Resolvendo v = a tanh ⁡ a β t m     para t , temos:

t = m a β tanh - 1 ⁡ v a

Substituindo em y = m β ln ⁡ cosh ⁡ a β t m   , temos:

y = m β ln ⁡ cosh ⁡ tanh - 1 ⁡ v a

Usando a identidade: tanh - 1 ⁡ u = cosh - 1 ⁡ 1 1 - u 2 , onde u < 1 .

Então:

y = m β ln ⁡ cosh ⁡ cosh - 1 ⁡ 1 1 - β v 2 m g   = m β ln ⁡ 1 - β v 2 m g - 1 2

Assim para o item (b), temos:

y = - m 2 β ln ⁡ 1 - β v 2 m g

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

y = - m α y ˙ + m g α ln ⁡ 1 - α y ˙ m g

Letra (b)

y = - m 2 β ln ⁡ 1 - β v 2 m g

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