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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 39

Uma barra de aço ( E = 210   G P a ) e uma barra de alumínio ( E = 70 G P a ) são unidas para formar a barra composta mostrada na figura. Determine a tensão máxima.

  1. No alumínio
  2. No aço

Quando a barra é flexionada em torno do eixo horizontal, com M = 200   N m .

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em aço.

n = E a l u m i n i o   E a ç o   = 70 210 = 0,33

E para mudarmos a largura do alumínio precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,33   .   36 = 12   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar as máximas tensões, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Mas para podermos determinar o momento de inércia, precisamos determinar a linha neutra, e a linha neutra vai ser dada pela seguinte equação:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Sabendo que as dimensões são dadas por:

Assim temos que:

A 1 = 36 × 12 = 432   m m 2

A 2 = 12 × 12 = 144   m m 2

y - = 432 × 18 + 144 × 6,0 432 + 144 = 15   m m

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples, e d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN. Assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 36 × 12 = 432   m m 2

A 2 = 12 × 12 = 144   m m 2

I 1 = b h 3 12 = 36 × 12 3 12 = 5184   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 12 × 12 3 12 = 1728   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

I = 5184 + 1728 + ( 432 × 3 2 + 144 × 9 2 )

I = 22464   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E aqui temos uma coisa muito importante, para termos as tensões máximas em cada material, precisamos pegar o ponto mais distante da LN referente a cada um deles, assim, teremos que:

Calculando primeiro o aço:

M = 200   N m = 200000   N m m

y - a ç o m a x i m o = 9   m m

I = 22464   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ a ç o m a x i m a = - 200000   [ N m m ]   .   ( 9 ) m m 22464   [ m m 4 ]

σ a ç o m a x i m a = - 80,1 N m m 2 = - 80,1 M P a

E analisando agora a madeira teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

M = 200   N m = 200000   N m m

y - a l u m i n i o m a x i m o = - 15   m m

I = 22464   m m 4

n = 0,33

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

σ a l u m i n i o m a x i m a = - 0,33 200000   [ N m m ]   .   ( - 15 ) m m 22464   [ m m 4 ]

σ a l u m i n i o m a x i m a = 44,1 N m m 2 = 44,1   M P a

Resposta

  1. σ a l u m i n i o m a x i m a = 44,1   M P a
  2. σ a ç o m a x i m a = - 80,1   M P a
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