Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 89
Uma barra de alumínio de 40mm de diâmetro está sujeita a um torque que produz na barra uma deformação especifica de cisalhamento de 0,008. Usando o diagrama mostrado, para esta liga de alumínio, determinar:
- A intensidade do torque
- O ângulo de torção para uma barra de 750 mm de comprimento.
Passo 1
Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:
Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:
E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:
Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela seguinte fórmula:
Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:
Substituindo na equação teremos que:
Que na equação passará a ser:
Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.
Substituindo teremos que:
Lembrando que é a variação do raio, e que C é o raio máximo, então sabemos que a razão
Varia entre 0 e 1, sendo assim podemos mudar a variação da integral que para variava de 0 até C, sendo assim teremos que:
E podemos definir que:
Que simplificando a equação teremos que:
Porém, vou te ensinar um macete, resolver a nossa integral seria muito complicado, além do mais, não conhecemos a nossa curva, e não sabemos a sua fórmula, por isso podemos macetear a nossa integral usando um conceito de solução numérica, ou seja, vamos usar uma solução aproximada para o nosso problema, e com isso usaremos um conceito de fórmula de Simpson para isso. Não vale apena entendermos todo o processo para chegar nela, até porque isso seria mais uma questão inteira a ser resolvida, mas como um passe de magica podemos aceitar que a nossa integral pode ser simplificada de seguinte maneira.
Sabemos que é de quanto em quanto queremos que o nosso fator Z seja analisado, sabemos que Z varia de 0 até 1, então para facilitarmos, vamos definir que a variação vai ser feita pelo seguinte valor:
Outra coisa que precisamos saber antes de continuar é que o W são fatores de multiplicação que valem o seguinte:
Sendo assim podemos montar uma tabela que será dada por:
Vale lembrar que a nossa fórmula de Simpson é dada pela seguinte equação:
E o que acabamos de determinar foi:
Substituindo tudo teremos que:
E depois disso tudo conseguimos enfim determinar o nosso item A), que é exatamente o valor do nosso torque:
Passo 2
O item B) já nos pede o ângulo de torção para a nossa barra, para isso temos que lembrar que a nossa fórmula é dada por:
Como queremos a deformação angular máxima temos que:
E pelo enunciado temos que:
Como o objetivo é a determinação da deformação angular, podemos fazer o seguinte cálculo: