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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 45

Para a barra composta indicada, determine o raio de curvatura provocado pelo momento fletor de 50,8   k N m

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então a madeira em uma correspondente em aço.

n = E m a d e i r a   E a ç o   = 12,4 200 = 0,062

E para mudarmos a largura da madeira precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,062   .   152,4 = 9,45   m m

Vale lembrar também que a conversão de polegadas para m m é dado por:

1   p o l e g a d a = 25,4   m m

Assim as dimensões do aço serão dadas por:

5   x 1 2 i n = 127   x   12,7 m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar o raio de curvatura dado pela seguinte equação:

1 ρ = M I E

Mas para podermos determinar o momento de inércia, precisamos determinar a linha neutra, e a linha neutra vai ser dada pela seguinte equação:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Sabendo que as dimensões são dadas por:

Assim temos que:

A 1 = 304,8 × 9,45 = 2880,36   m m 2

A 2 = 12,7 × 127 = 1612,9   m m 2

y - = 2880,36 × 165,1 + 1612,9 × 6,35 2880,36 + 1612,9 ≅ 108   m m

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples, e d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN. Assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 304,8 × 9,45 = 2880,36   m m 2

A 2 = 12,7 × 127 = 1612,9   m m 2

I 1 = b h 3 12 = 9,45 × 304,8 3 12 = 22299517   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 127 × 12,7 3 12 = 21679   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

I = 22299517 + 21679 + ( 2880,36 × 57,1 2 + 1612,9 × 101,65 2 )

I = 48377999   m m 4

E lembra que o nosso objetivo é determinar o raio de giração, e sabemos que o cálculo é feito da seguinte maneira:

1 ρ = M I E

ρ = E I M

Como tudo foi convertido para aço, podemos usar o modulo de elasticidade do aço, sendo assim teremos que:

E = 200   G P a = 200000   M P a = 200000   N / m m 2

I = 48377999   m m 4

M = 50,8   k N m = 50800000   N m m

ρ = 200000   N m m 2 48377999   m m 4 50800000     N m m = 190465   m m = 190,5   m

Resposta

ρ = 190,5   m

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