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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 34

Uma barra com a seção transversal mostrada na figura foi construída unindo-se firmemente latão e alumínio. Usando os dados fornecidos abaixo, determine o maior momento fletor admissível quando a barra composta é flexionada em torno do eixo horizontal.

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em latão.

n = E a l u m í n i o   E l a t ã o   = 70 105 = 0,667

E para mudarmos a largura do alumínio precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,667   .   3 2 = 21,3 m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Agora já podemos determinar o momento de inércia.

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + ( A 1 d 1 2 + A 3 d 3 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2 , I 3     e   I 4 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1   e   d 3 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 8 × 21,3 = 170,4   m m 2

A 3 = 8 × 21,3 = 170,4   m m 2

I 1 = I 3 = b h 3 12 = 21,3 × 8 3 12 = 908,8   m m 4

I 2 = I 4 = b h 3 12 = 8 × 3 2 3 12 = 21845   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 908,8 + 21845 + 908,8 + 21845 + ( 170,4 × 12 2 + 170,4 × 1 2 2 )

I = 94582,8   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

σ a d m = + 160   M P a = 160 N m m 2

y - - = - 16   m m

I = 94582,8   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

160 N m m 2 = - M   .   ( - 16 ) m m 94582,8   m m 4

M = 945828   N m m = 946   N m

E analisando agora o alumínio teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

σ a d m = 100 M P a = 100 N m m 2

y - - = - 16 m m

I = 94582,8   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - 0,667 M   . ( - 16 ) m m 94582,8 m m 4

M = 886271   N m m = 886   N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 886   N m

Resposta

M = 886   N m

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