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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 33

Uma barra com a seção transversal mostrada na figura foi construída unindo-se firmemente latão e alumínio. Usando os dados fornecidos abaixo, determine o maior momento fletor admissível quando a barra composta é flexionada em torno do eixo horizontal.

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em latão.

n = E a l u m í n i o   E l a t ã o   = 70 105 = 0,667

E para mudarmos a largura do alumínio precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,667   .   30 = 20   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Agora já podemos determinar o momento de inércia.

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 + A 3 d 3 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2   e   I 3 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1 ,   d 2   e   d 3 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 6 × 30 = 180   m m 2

A 2 = 30 × 20 = 600   m m 2

A 3 = 6 × 30 = 180   m m 2

I 1 = b h 3 12 = 30 × 6 3 12 = 540   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 20 × 30 3 12 = 45000   m m 4

I 3 = b h 3 12 = 30 × 6 3 12 = 540   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 540 + 45000 + 540 + ( 180 × 18 2 + 600 × 0 + 180 × 18 2 )

I = 162720   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

σ a d m = + 160   M P a = 160 N m m 2

y - - = - 21 m m

I = 162720   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

160 N m m 2 = - M   .   ( - 21 ) m m 162720   m m 4

M = 1239771   N m m = 1,24   k N m

E analisando agora o alumínio teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

σ a d m = 100 M P a = 100 N m m 2

y - - = - 15 m m

I = 162720   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - 0,667 M   . ( - 15 ) m m 162720 m m 4

M = 1626387   N m m = 1,63   k N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 1,24   k N m

Resposta

M = 1,24   k N m

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