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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 19

Para a barra composta do Prob 2.9, determinar a maior carga P admissível se a deformação total da barra não deve exceder a 1mm e a tensão normal ser no máximo igual a 180 Mpa

Passo 1

Vamos começar calculando a reação de apoio e as forças internas na estrutura:

+ ↑ ∑ F y = 0 ⇒ - P + 130 k N + 130 k N - R = 0

R = 260 - P

Passo 2

Vamos calcular também as áreas de seção transversal de cada segmento.

A A B = π d A B 2 4 = π ⋅ 75   m m 2 4 = 1406,25 π   m m 2

A B C = π d B C 2 4 = π 50   m m 2 4 = 625 π   m m 2

Passo 3

A forma de resolver esse tipo de questão é testando! Primeiro vamos calcular a maior carga permitida pela deformação. E depois vamos testar a maior carga permitida pela tensão. A resposta será o MENOR valor calculado.

Mas antes, vamos observar os esforços internos em cada segmento:

Passo 4

Vamos testar então utilizando a deformação. A Equação 2.8 do livro é a que devemos utilizar nesse caso:

δ = ∑ P L A E

δ = P A B L A B A A B E A B + P B C L B C A B C E B C

Vamos aplicar os valores. Mas não se esqueça de que forças de compressão são negativas e forças de tração são positivas:

1   m m = - ( 260   k N - P ) ⋅ 760   m m 1406,25 π   m m 2 ⋅ 200   G P a + P ⋅ 1000   m m 625 π   m m 2 ⋅ 105   G P a

Vamos utilizar as unidades padrão:

0,001   m = - 260000   N - P ⋅ 0,760   m 1406,25 π ⋅ 10 - 6 m 2 ⋅ 200 ⋅ 10 9 P a + P ⋅ 1   m 625 π ⋅ 10 - 6 m m 2 ⋅ 105 ⋅ 10 9 P a

Vamos efetuar algumas das divisões:

0,001   m = - 2,2368 ⋅ 10 - 4   m + 8,6 ⋅ 10 - 10 ⋅ P + 4,85 ⋅ 10 - 9 ⋅ P

E isolamos o P

5,71 ⋅ 10 - 9 ⋅ P = 0,00122368

Chegamos em:

P = 214304,72   N

P ≈ 214,3   k N

Passo 5

Agora vamos considerar a tensão máxima sobre a barra. Primeiro, vamos imaginar que a tensão máxima ocorre na seção AB:

σ m á x = P A B A A B

σ m á x = 260   k N - P 1406,25 π

P A B = 260   k N - 180   M P a ⋅ 1406,25 π   m m 2

P A B = 260 ⋅ 10 3 N - 180 ⋅ 10 6   P a ⋅ 1406,25 π ⋅ 10 - 6   m 2

P = - 535215,64   N

P = - 535,22   k N

Agora vamos imaginar que a tensão máxima ocorra na seção BC:

σ m á x = P B C A B C

P = σ m á x ⋅ A B C

P = 180   M P a ⋅ 625 π   m m 2

P = 353,43   k N

Passo 6

Calculamos 3 possibilidades para o valor de P . Porém devemos escolher o menor valor:

P = 214,3   k N

Resposta

P = 214,3   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

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Para a barra composta do Prob. 2.10, determinar: ( a ) a carga P , para que a deformação total da barra seja - 0,2m m ; ( b ) a correspondente deflexão do ponto B .
Determinar a deformação da barra composta do Problema 2.34, se nela atuar uma força centrada de intensidade P = 45 k N .
Uma barra de 250 m m de comprimento, com seção transversal retangular de 15 × 30 m m , consiste de duas lâminas de alumínio ( E = 70 G P a ) , de 5 m m de espessura, e no centro de uma lâmina de latão
Um fio de nylon está sujeito a uma tração de 10N . Sabendo-se que E = 3,45G P a , que a máxima tensão normal admissível é de 40M P a , e que o comprimento do fio não poderá aumentar mais do que 1 % ,
Uma força centrada de 180 k N está aplicada na montagem mostrada, por meio de placas rígidas colocadas em ambas as extremidades. Sabe-se que os módulos de elasticidade do aço e do alumínio valem 200 G