Enunciado

Uma barra de 250 m m de comprimento, com seção transversal retangular de 15 × 30 m m ,   consiste de duas lâminas de alumínio ( E = 70 G P a ) , de 5 m m de espessura, e no centro de uma lâmina de latão E = 105 G P a ,   com a mesma espessura. Se ela está sujeita a uma força centrada, P = 30 k N ,   determinar a tensão normal (a) nas lâminas de alumínio; (b) na lâmina de latão.

Passo 1

Fala aí galera, bora ficar craque em Resmat com mais essa questão.

Vamos considerar P 1     e     P 2 , como cargas compartilhadas por hastes de alumínio e latão, respectivamente.

Vamos equacionar a soma das cargas compartilhadas pelas hastes de aluminío e latão com a força aplicada na barra.

P 1 + P 2 = P                   ( 1 )

Vamos escrever as deformações induzidas em membros de alumínio e latão como segue:

δ 1 = P 1 L 1 A 1 E 1

δ 2 = P 2 L 2 A 2 E 2

Passo 2

Onde, os membros de alumínio e latão se deformam em quantidades iguais e, portanto,

δ 1 = δ 2

Substituindo

P 1 L 1 A 1 E 1 = P 2 L 2 A 2 E 2

Como L 1 = L 2

P 1 = A 1 E 1 A 2 E 2 P 2               ( 2 )

Passo 3

Agora iremos substituir a equação (2) na equação (1)

A 1 E 1 A 2 E 2 P 2 + P 1 = P

1 + A 1 E 1 A 2 E 2 P 2 = P

P 2 = P 1 + A 1 E 1 A 2 E 2             ( 3 )

Passo 4

Vamos calcular a razão de

A 1 E 1 A 2 E 2

A 1 E 1 A 2 E 2 = d 1 × t 1 × E 1 d 2 × t 2 × E 2                 ( 4 )

Vamos calcular a espessura das camadas de alumínio

t 1 = 2 × 5 = 10   m m

Vamos substituir os valores numéricos

A 1 E 1 A 2 E 2 = 30 × 10 × 70 30 × 5 × 105

A 1 E 1 A 2 E 2 = 140 105

A 1 E 1 A 2 E 2 = 1.333

Passo 5

Vamos substituir os valores numéricos na expressão(3)

P 2 = P 1 + A 1 E 1 A 2 E 2

P 2 = P 1 + 1.33

Vamos substituir o valor de 30   k N em P .

P 2 = 30 2.333 k N

P 2 = 12.859   k N

Passo 6

Vamos calcular a magnitude da carga P 1 usando a seguinte expressão:

P 1 = A 1 E 1 A 2 E 2 P 2

P 1 = 1.333 × 12.859

P 1 = 17.142   k N

Passo 7

Vamos calcular a área da seção transversal das camadas de alumínio e latão da seguinte maneira:

A 1 = 2 × ( 30 × 5 )

A 1 = 300   m m 2

A 2 = 30 × 5

A 2 = 150 m m 2

  1. Vamos calcular a tensão nas camadas de alumínio usando a seguinte expressão

σ A l = P 1 A 1

Substituindo

σ A l = 17.142 × 10 3 300

σ A l = 57.14   M P a     ( c o m p r e s s ã o )

Portanto, a tensão normal nas camadas de aluminío é de 57.14   M P a     ( c o m p r e s s ã o )

Passo 8

  1. Vamos calcular a tensão nas camadas de latão usando a seguinte expressão

σ l a t ã o = P 2 A 2

Substituindo

σ l a t ã o = 12.859 × 10 3 15 0

σ l a t ã o = 85.72   M P a     ( c o m p r e s s ã o )

Portanto, a tensão normal nas camadas de latão é de 85.72   M P a     ( c o m p r e s s ã o )

Resposta

  1. Portanto, a tensão normal nas camadas de aluminío é de 57.14   M P a     c o m p r e s s ã o .
  2. Portanto, a tensão normal nas camadas de latão é de 85.72   M P a     c o m p r e s s ã o .
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