Uma barra maciça de latão de 20   m m de diâmetro e 760   m m de comprimento é torcida de um ângulo de 10°. Usando o diagrama τ - γ mostrado para o latão em questão, determinar:

  1. A intensidade do torque aplicado à barra
  2. A máxima tensão de cisalhamento na barra.

Passo 1

Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:

c = 1 2 D = 20 2 = 10 m m = 0,0 1 0   m

Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:

γ = ρ c γ m a x

E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:

Z = γ γ m a x = ρ c

Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela seguinte fórmula:

T = 2 π ∫ 0 c ρ 2 τ   d ρ

Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:

ρ = Z c

Substituindo na equação teremos que:

T = 2 π ∫ 0 c ( Z c ) 2 τ   d ρ

Que na equação passará a ser:

T = 2 π ∫ 0 c Z 2 c 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.

ρ = Z c

d ρ = c d Z

Substituindo teremos que:

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   ( c d Z )

Lembrando que ρ é a variação do raio, e que C é o raio máximo, então sabemos que a razão

Z = ρ c

Varia entre 0 e 1, sendo assim podemos mudar a variação da integral que para ρ variava de 0 até C, sendo assim teremos que:

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

E podemos definir que:

I = ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

Que simplificando a equação teremos que:

T = 2 π c 3 I

Porém, vou te ensinar um macete, resolver a nossa integral I seria muito complicado, além do mais, não conhecemos a nossa curva, e não sabemos a sua fórmula, por isso podemos macetear a nossa integral usando um conceito de solução numérica, ou seja, vamos usar uma solução aproximada para o nosso problema, e com isso usaremos um conceito de fórmula de Simpson para isso. Não vale apena entendermos todo o processo para chegar nela, até porque isso seria mais uma questão inteira a ser resolvida, mas como um passe de magica podemos aceitar que a nossa integral pode ser simplificada de seguinte maneira.

I = ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

Sabemos que ∆ Z é de quanto em quanto queremos que o nosso fator Z seja analisado, sabemos que Z varia de 0 até 1, então para facilitarmos, vamos definir que a variação vai ser feita pelo seguinte valor:

∆ Z = 0,2 0

Outra coisa que precisamos saber antes de continuar é que o W são fatores de multiplicação que valem o seguinte:

W = 1   v a l o r e s   e x t r e m o s

W = 4   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   i m p a r e s

W = 2   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   p a r e s

Sendo assim podemos montar uma tabela que será dada por:

Vale lembrar que a nossa fórmula de Simpson é dada pela seguinte equação:

I ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

E o que acabamos de determinar foi:

∑ W Z 2 τ = 297,8

Substituindo tudo teremos que:

I ≅ 0,20 3 297,8 = 19,85   M P a = 19,85 N m m 2

E depois disso tudo conseguimos enfim determinar o nosso item A), que é exatamente o valor do nosso torque:

T = 2 π c 3 I = 2 π . ( 10 [ m m ] ) 3 . 19,85 N m m 2 = 124721   N m m = 0,125   k N m = 125   N m

Passo 2

O item B) precisamos determinar a deformação máxima especifica cisalhante da nossa peça, e para isso o enunciado nos ajuda com alguns dados. Sabemos que a fórmula que vai nos ajudar é dada por:

γ m a x = c Ф L

Pelo enunciado temos que:

c = d 2 = 20 2 = 10 m m

L = 760   m m

Ф = 10 ° = 10 π 180 = 0,17453   r a d

Substituindo na fórmula temos que:

γ m a x = 10   .     0,17453 760 = 0,00223

Substituindo no nosso gráfico teremos que:

τ = 86,5   M P a

Resposta

T = 125   N m

τ = 86,5   M P a

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