Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 131a
Um eixo cilíndrico vazado de comprimento L, raio médio e espessura uniforme , está submetido aos torques de intensidade Considerar inicialmente os valores da tensão média de cisalhamento e o ângulo de torção obtido das fórmulas de torção elástica desenvolvidas nas Secs 3.4 e 3.5, e também os correspondentes valores obtidos das fórmulas desenvolvidas na Sec 3.13, para eixos vazados de paredes finas. Pede-se (a) mostrar que o erro relativo, introduzido em usar as fórmulas de eixo de parede fina, ao invés das fórmulas de torção elástica é o mesmo para e e que este erro relativo é positivo e proporcional ao quadrado da relação (b) calcular o erro percentual correspondente a valores de iguais a , e
Passo 1
Na primeira parte dessa questão, o que vamos fazer é calcular o torque e o ângulo de torção considerando as fórmulas de torção elástica:
Primeiro vamos calcular o raio interno e externo:
Agora, vamos dar uma de Nazaré, vamos calcular o momento de inércia polar:
Se a gente utilizar o produto notável , podemos simplificar a expressão:
Aplicando os raios e desenvolvendo:
Fazemos as simplificações:
Chegamos em:
Passo 2
Tudo certo. Agora vamos calcular a tensão sobre a barra na distância
E também calculamos o ângulo de torção:
Passo 3
Show de bola!
Agora vamos considerar o mesmo problema, mas com as equações de paredes finas.
Primeiro calculamos a área interna (destacada em azul), e o contorno do raio médio (em linha pontilhada)
E com isso já dá para calcular o torque:
E dá para calcular o ângulo de torção também:
Passo 4
Pronto, a parte mais difícil já passou!
Agora é só dividir para encontrar os erros
Primeiro fazemos isso para a tensão:
E agora para o ângulo de torção:
E isso demonstra que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)