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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 98

Uma barra prismática de seção transversal retangular é feita por uma liga para a qual a curva tensão-deformação especifica pode ser representada pala relação ϵ = k σ n para σ > 0 e         ϵ = - k σ n para σ < 0 . Se um momento fletor M é aplicado à barra, mostre que a tensão máxima é:

σ m = 1 + 2 n 3 n M c I

Passo 1

Para o item b) queremos determinar os nossos momentos fletores, e relacionando o nosso momento com a nossa integral, teremos que:

M = - b ∫ - c c y σ d y

Em que c é metade da altura da seção e b é a largura da nossa seção. Quando temos seções retangulares, podemos fazer a seguinte simplificação:

M = - 2 b ∫ 0 c y σ d y

Podemos definir que:

ϵ = - ϵ m y c

Se definimos que

u = y c

Temos que:

ϵ = - ϵ m u

Podemos definir que:

- u c = y

Derivando dos dois lados temos que:

- c d u = d y

Substituindo teremos que (lembrar que para y a variação era de 0 até c , como estamos mudando para u , a variação vai passar a ser de 0 até 1:

M = 2 b ∫ 0 1 u c σ c d u

M = 2 b c 2 ∫ 0 1 u σ d u

Veja que temos que:

ϵ = - ϵ m u

Considerando os valores em módulos, tem-se que:

u = ϵ ϵ m

Sabe-se que:

ϵ = k σ n

ϵ m = k σ m n

Substituindo, tem-se que:

u = k σ n k σ m n

u = σ σ m n

u 1 n = σ σ m

σ = σ m u 1 n

Substituindo na nossa integral, temos que:

M = 2 b c 2 ∫ 0 1 u σ m u 1 n d u

M = 2 b c 2 σ m ∫ 0 1 u 1 + 1 n     d u

Resolvendo-se a integral, obtém-se que:

M = 2 b c 2 σ m u 2 + 1 n 2 + 1 n

M = 2 n 2 n + 1 b c 2 σ m

Isolando a nossa tensão, teremos que:

σ m = 2 n + 1 2 n M b c 2

Sabemos que na nossa fórmula tem que aparecer o momento de inércia, sabemos que:

I = b 2 c 3 12

Dividindo os dois lados por c obtém-se que:

I c = 8 b c 3 12 c

I c = 2 b c 2 3

1 b c 2 = 2 c 3 I

Substituindo temos que:

σ m = 2 n + 1 2 n M   2 c 3 I

σ m = 2 n + 1 3 n M c I

Resposta

σ m = 2 n + 1 3 n M c I

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