Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 93
Uma barra retangular reta e livre de tensões é flexionada formando um arco de circunferência de raio por dois momentos M. após os momentos serem removidos, observa-se que o raio de curvatura da barra é . Chamando de o raio de curvatura da barra no inicio do escoamento, mostre que o raio de curvatura satisfaz a seguinte relação:
Passo 1
A fórmula pode parecer muito assustadora, mas ela só dá um medinho inicial, porque ela é bem simples de ser demonstrada, quer ver? Então me segue que é sucesso.
Primeiro, temos que lembrar duas fórmulas que vão nos ajudar nessa solução. Primeiro, ele indica no enunciado que iremos precisar do raio de curvatura no inicio do escoamento dela, que é dado pelo seguinte símbolo . Porém qual a fórmula do raio de curvatura no início do escoamento? Ai entra a primeira fórmula que temos que lembrar, que é a seguinte fórmula.
E a segunda fórmula é uma velha conhecida nossa desse capitulo, que é a fórmula que relaciona os momentos e raios de curvatura atuantes e os raios e momentos de escoamento, que é a nossa velha conhecida dada por:
E como essas duas fórmulas vão nos ajudar? Isso já vamos ver, porque antes delas, precisamos entender o que está rolando no nosso problema.
Passo 2
O nosso objetivo é determinar , certo? Ele nada mais é que o raio de curvatura residual que sobra na nossa barra, certo? Mas como podemos determinar ele como base no raio de curvatura total () e no raio de curvatura do escoamento ( ?
Pensa no seguinte, se eu pegar tudo o que a viga deformou, e retirar a parte que é elástica, sobra exatamente o que é resíduo, certo? Com os raios de curvatura é EXATAMENTE a mesma coisa, assim podemos escrever da seguinte maneira:
perceba que esse novo termo é novo pra gente, mas ele nada mais é que:
Substituindo teremos que:
E veja que temos uma fórmula que tem exatamente o nosso , assim podemos fazer a substituição novamente:
Perceba que temos que:
E assim podemos substituir o termo , tendo a seguinte relação:
Se colocamos em evidencia, temos que:
Organizando cada termo em seu devido lugar, temos que: