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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 24

Um conjunto de 60 N m é aplicado à barra de aço mostrada.

  1. Admitindo que o conjunto é aplicado na direção do eixo z conforme mostrado, determine a tensão máxima e o raio de curvatura da barra.
  2. Resolva a parte a), admitindo que o conjunto é aplicado na direção do eixo y .

Adote E = 200 G P a .

Passo 1

Nossos objetivos são dois, determinar a máxima tensão e o raio de curvatura, sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ x = - M y I

E o raio da curvatura é calculado da seguinte maneira:

1 ρ = M E I

Como queremos o raio de curvatura, podemos definir como:

ρ = E I M

Pelo enunciado temos os seguintes dados comuns ao item A) e B).

M = - 60   N m = - 60000   N m m

E = 200   G P a = 200 k N m m 2 = 200000 N m m 2

E por ser um retângulo, sabemos que a LN ocorre no meio termo da seção, o que já facilita a nossa vida.

E precisamos do momento de inércia e dos valores de Y, porém isso varia de acordo com a orientação da encurvatura da nossa seção, então para isso iremos dividir o cálculo.

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  1. Para o item A) a encurvatura ocorre em torno da horizontal, sendo assim teremos que a nossa seção será dada por:

    2. E sabemos que o momento de inercia será calculado por:

    I = b h 3 12 = 12   .   20 3 12 = 8000   m m 4

    E para determinação do y teremos que:

    Determinando as nossas tensões, teremos que:

    σ c o m p r e s s ã o = - M y - I = - - 60000 N m m   .   - 10 m m 8000   m m 4 = - 75 N m m 2 = - 75   M P a

    σ t r a ç a õ = - M y + I = - - 60000 N m m   .   10 m m 8000   m m 4 = + 75 N m m 2 = 75   M P a

    E determinando a curvatura, teremos que:

    ρ = E I M = 200000 N m m 2 . 8000   m m 4 60000   [ N m m ] = 26667   m m = 26,7 m

    Passo 3

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  2. Para o item B) a encurvatura ocorre em torno da vertical, e pode parecer que a conta será o mais difícil, mas o que podemos fazer é girar a seção, e ai o nosso eixo vertical se torna horizontal, e toda a conta volta a ser o que já sabemos , sendo assim teremos que a nossa seção será dada por:

E sabemos que o momento de inercia será calculado por:

I = b h 3 12 = 20   .   12 3 12 = 2880   m m 4

E para determinação do y teremos que:

Determinando as nossas tensões, teremos que:

σ c o m p r e s s ã o = - M y - I = - ( - 60000 )   N m m   .   ( - 6 )   m m 2880 m m 4 = - 125 N m m 2 = - 125   M P a

σ t r a ç a õ = - M y + I = - ( - 60000 )   N m m   .   ( 6 )   m m 2880 m m 4 = + 125 N m m 2 = 125   M P a

E determinando a curvatura, teremos que:

ρ = E I M = 200000 N m m 2 . 2880   m m 4 60000   [ N m m ] = 9600   m m = 9,6   m

Resposta

  1. σ = 75   M P a e ρ = 26,7   m
  2. σ = 125   M P a e ρ = 9,6   m
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