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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 111

O cabo suporta a carga distribuída uniforme de w 0 = 12   k N / m . Determine a tração no cabo em cada apoio A e B .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a tração desenvolvida no cabo nos apoios em A e em B .

Para que a gente possa determinar esta incógnita, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x o carregamento aplicado na corda. Nesta questão, a corda está submetida a um carregamento uniforme dado por w x = w 0 = 12   k N / m . Portanto, a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ 12   d x d x

y = 1 F H ∫ 12 x + C 1 d x

y = 1 F H 6 x 2 + C 1 x + C 2

Sendo F H expresso em k N .

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Vamos fixar o sistema de coordenadas no ponto mais baixo do cabo, conforme podemos ver no esboço abaixo:

Aqui, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = 0 , y x = 4,5 e y - 7,5 - x = 3 . Aplicando a primeira, temos:

y 0 = 1 F H 6 ⋅ 0 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = C 2 F H = 0 ⟹ C 2 = 0

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H 12 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 ⟹ C 1 = 0

Já para descobrirmos F H , precisamos aplicar a terceira e a quarta condição de contorno. Aplicando-as, temos:

4,5 = 6 x 2 F H 3 = 6 - 7,5 - x 2 F H

Do sistema acima obtemos: x 1 = 4,13   m e x 2 = 40,9   m . Como 0 < x < 7,5   m , então, a única resposta possível é x 1 = 4,13   m . Para este valor, obtemos que F H = 22,74   k N . Portanto, a equação da corda será:

y = 0,2638 x 2

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que calcular as trações nos apoios da corda.

Para isto, é fundamental que calculemos os ângulos das inclinações em cada um destes pontos. Como a inclinação é dada por d y d x = 0,5276 x , então, os ângulos nos pontos B ( x = 4,13   m ) e A x = - 3,37   m serão:

θ A = arctan ⁡ 0,5276 ⋅ - 3,37 = - 60,64 °

θ B = arctan ⁡ 0,5276 ⋅ 4,13 = 6 5 , 35 °

E as trações nestes pontos serão:

T A = F H cos ⁡ θ A = 22,74 cos ⁡ - 60,64 ° = 46,38   k N

T B = F H cos ⁡ θ B = 22,74 cos ⁡ 65,35 = 54,52   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

T A = 46,38   k N

T B = 54,52   k N

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Determine a distância a entre os apoios em termos do comprimento L da viga de modo que o momento na viga simétrica seja zero no centro da viga.
Determine a força normal, a força cortante e o momento fletor interno nos pontos B e C da viga.
Os segmentos de cabo suportam a carga mostrada. Determine a intensidade da força horizontal P de modo que x B = 1,8m .
Os segmentos de cabo suportam a carga mostrada. Determine a distância horizontal x B a partir da força B até o ponto A . Faça P = 200N .
Determine a força P necessária para manter o cabo na posição mostrada, ou seja, de modo que o segmento B C permaneça horizontal. Além disso, calcule a flecha y B e a tração máxima no cabo.