Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 120
Um cabo de tem peso de e é apoiado nos pontos que estão a 25 m um do outro e na mesma elevação. Se ele tem um comprimento de 26 m, determine a flecha.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Esta é uma questão semelhante ao exercício resolvido 7.13. Pelo menos em termo de geometria (e solução de equação), ela é idêntica. Relembrando, a geometria é:
Aqui temos um cabo de comprimento suspensa entre dois pontos por uma distância . A questão também nos diz que o cabo tem peso .
Com posse de todas essas informações, precisamos determinar a flecha do cabo.
Para isto, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:
Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:
Passo 2
Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.
Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: em e . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações
Vamos começar aplicando . Para isto, precisamos lembrar que:
Sendo esse o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:
Aplicando a condição que quando , temos:
E assim chegamos à relação:
E consequentemente,
Agora que obtivemos a equação de como função de , vamos determinar quem é . Para isto, basta utilizarmos outra condição de contorno, que temos também da geometria do cabo.
Quando , temos . Portanto,
Resolvendo a equação acima obtemos que
Passo 3
Para determinarmos a flecha, e consequentemente finalizarmos a questão, precisamos determinar uma equação da forma . Lembrando do Passo 2, temos:
Só que . Logo,
Para que possamos calcular quem é quando (o valor da flecha ), temos antes que descobrir . E para isto, basta aplicarmos a condição de que quando . Logo,
E por fim, a flecha será:
E assim finalizamos a questão!