Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 119
Mostre que a curva de deflexão do cabo discutido no Exemplo 7.13 se reduz à Equação 4 no Exemplo 7.12 quando a função de cosseno hiperbólico é expandida em termos de uma série e apenas os dois primeiros termos são mantidos. (A resposta indica que a catenária pode ser substituída por uma parábola na análise do problema em que a flecha é pequena. Nesse caso, o peso do cabo é considerado uniformemente distribuído na horizontal.)
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Para resolvermos esta questão precisamos começar relembrando de dois pontos: a curva deflexão do cabo do Exemplo 7.13 e a equação 4 do Exemplo 7.12.
Começando pela curva deflexão, temos:
Já a equação 4 é do Exemplo 7.12 é:
Que diferença, não é? Mas não se assustem! Agora que já recapitulamos, vamos para a nossa questão!
Passo 2
Talvez o mais difícil seja lembrar como escrevemos o cosseno hiperbólico como uma série de potências. Lá de cálculo nós aprendemos que:
Portanto, quando , e escrevendo o nosso cosseno hiperbólico utilizando os dois primeiros termos da série, teremos:
Passo 3
Agora que escrevemos o cosseno hiperbólico em termos de série, basta substituirmos na equação da curva deflexão. Portanto,
Só que lá do Exemplo nós temos que . Portanto,
E assim chegamos à Equação 4 do Exemplo 7.12, finalizando a nossa questão!