Um cabo tendo um peso por comprimento de é suspenso entre apoios e . Determine a equação da curva catenária do cabo pelo seu comprimento do cabo.

Nós notamos que na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

Se nós consideramos , então , logo:

E integrando isso:

Vamos encontrar , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, e então:

Logo é igual a .

Ficamos com:

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

Agora lembra que , aí ficamos com:

Vamos aplicar na condição inicial, que é , pois a derivada é a tangente do ângulo no ponto e :

Assim descobrimos que:

Subustituindo , na função derivada:

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

Testando a equação na condição inicial, onde e , encontramos que:

Logo, ficamos com:

Tá quase acabando, vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

Eliminando , temos:

Então igualamos a equação derivada:

Assim encontramos:

Substitumos o por , e obtemos a resposta: