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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 1

Para o carregamento mostrado nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica para a viga em balanço AB, (b) a deflexão da extremidade livre e (c) a inclinação na extremidade livre.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, depois vamos fornecer as condições de contorno apropriadas pra encontrar as constantes da equação. Com isso vamos obter a equação para a deflexão da viga, depois vamos integrar novamente, utilizar novamente uma condição de contorno para determinar o valor da constante de integração, e aí teremos a equação da linha elástica pedida na letra (a).

Depois para a letra (b) e (c) basta substituir o ponto x = L nas equações respectivas encontradas anteriormente. Então bora lá!

Passo 2

Para conseguir encontrar uma equação para o momento da viga, precisamos desenhar um DCL para ela em uma seção a uma distância x da extremidade B, então teremos:

Então, com o DCL, vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C, de onde teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- M - P L - x = 0 → M = - P L - x

Então, com a equação para o momento, podemos usar a equação descrita no passo 1, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Substituindo a expressão encontrada para M, teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - P L - x → E I . d 2 y d x 2 = - P L + P x

Integrando essa expressão dos dois lados em relação a x, teremos:

E I . d y d x = - P L x + P x 2 2 + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos precisar de uma condição de contorno. Nesse caso, sabemos que no suporte, não temos inclinação, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Então, substituindo esses valores na equação acima, teremos:

E I 0 = - P L 0 + P 0 2 2 + C 1 → C 1 = 0

Então, a equação para a inclinação da viga será:

E I . d y d x = - P L x + P x 2 2

Passo 3

Agora vamos pegar a equação para a inclinação da viga que obtivemos no passo 2 e integrar novamente, dessa forma, teremos:

E I y = - P L x 2 2 + P x 3 6 + C 2

Agora, para descobrir o valor de C 2 , nós precisamos de outra condição de contorno. Nesse caso, nós sabemos que não temos deflexão no suporte, então temos:

x = 0 → y = 0

Substituindo esses valores na equação acima, teremos:

E I 0 = - P L 0 2 2 + P 0 3 6 + C 2 → C 2 = 0

Então, a equação da linha elástica, pedida na letra (a), para a viga será:

E I y = - P L x 2 2 + P x 3 6 → y = - P x 2 6 E I 3 L - x

Passo 4

Agora, para a letra (b), vamos calcular a deflexão da viga na extremidade livre, ou seja, em x = L , então, utilizando a equação da linha elástica obtida no passo 3, teremos:

y x = L = - P L 2 6 E I 3 L - L → y x = L = - P L 3 3 E I

Bora que só falta a letra (c) agora.

Passo 5

Agora, para a letra (c), vamos utilizar a equação para a inclinação da viga, que encontramos lá no passo 2, e calcular para a extremidade livre em x = L , então teremos:

E I . d y d x x = L = - P L L + P L 2 2

d y d x x = L = - P L 2 2 E I

Feshoow, terminamos mais um, valeeu!

Resposta

y = - P x 2 6 E I 3 L - x

y x = L = - P L 3 3 E I

c :   d y d x x = L = - P L 2 2 E I

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