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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 55c

Cinco tiras de metal, cada uma com 40 mm de largura, são firmemente unidas, de maneira a formar a viga composta mostrada. Os módulos de elasticidade são de 210   G P a para o aço, 150   G P a para o latão e 70   G P a para o alumínio. Sabendo-se que a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1800   N m , determinar a máxima tensão:

  1. No aluminio;

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter todos ela para um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos então fazer o seguinte, vamos manter como intacto o Aço, e vamos transformar em aço o latão e o alumínio, sendo assim vamos ter dois fatores de transformação, sendo assim teremos que:

n l a t ã o = E l a t ã o   E a ç o   = 150 210 = 0,714

n a l u m í n i o = E a l u m í n i o   E a ç o   = 70 210 = 0,333

E como temos duas mudanças, precisamos modificar a largura das chapas de latão e de alumínio, e como elas foram as transformadas, então o aço vai se manter, e o latão e alumínio vão ser modificados:

b ' = n b

b ' l a t ã o - a ç o = n l a t ã o b l a t ã o = 0,714   .   40 = 28,56   m m

b ' a l u m í n i o - a ç o = n a l u m i n i o b a l u m i n i o = 0,333   .   40 = 13,32   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar as tensões, e a fórmula que calcula a tensão na estrutura intacta, é dada por:

σ x = - M y I

E a fórmula para calcular as tensões nas barras que foram transformadas é dada por:

σ x = - n M y I

Ou seja, temos que tomar cuidado de usarmos o coeficiente de transformação correto, na barra correta.

Agora já podemos determinar o momento de inércia e o y da nossa fórmula.

Passo 2

Como já temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = 2 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + 2 ( I 2 + A 2 d 2 2 ) + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

    I = 2 ( 1110 + 133,2   .   25 2 ) + 2 ( 2380 + 285,6   .     15 2 ) + ( 26666,7 + 400   .     0 )

    I = 328666,7   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Pelo enunciado, o nosso objetivo é determinar a máxima tensão no aluminio, logo, precisamos determinar y apenas do aluminio, e lembrando que ele é a parcela transformada, ou seja, possui fator de transformação multiplicando a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

M = + 1800   N m = 1800000   N m m

y - - = - 30 m m

I = 328666,7     m m 4

n a l u m í n i o = E a l u m í n i o   E a ç o   = 70 210 = 0,333

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

σ max ⁡ - a l u m i n i o = - 0,333 1800000   N m m .   - 30 m m 328666,7   m m 4 = 54,8   M P a

Resposta

σ max ⁡ - a l u m i n i o = 54,8   M P a

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