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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 53

Para a viga composta do P r o b .   4.43 , determinar o raio de curvatura causado pelo momento fletor M = 50   k N m .

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter todos ela para um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos então fazer o seguinte, vamos manter como intacto o Aço, e vamos transformar em aço a madeira, sendo assim vamos ter um fator de transformação, sendo assim teremos que:

n m a d e i r a = E m a d e i r a   E a ç o   = 12 200 = 0,06

Agora precisamos modificar a largura da chapa de madeira, e como ela era a transformada, então o aço vai se manter, e a madeira vai ser modificado:

b ' = n b

b ' m a d e i r a - a ç o = n m a d e i r a b m a d e i r a = 0,060   .   150 = 9   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

O nosso objetivo é determinar o raio de giração, e sabemos que o cálculo é feito da seguinte maneira:

1 ρ = M I E

ρ = E I M

Sendo assim o mais difícil que temos que determinar, é a LN e o momento de inércia. Então vamos lá.

Começando pela linha neutra teremos que:

  • Primeiro dividir a seção em seções mais simples e numerar elas.

  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.

    • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 A 1 + A 2

Substituindo teremos que:

y - = 2700   .     155,6 + 2181   .     14,5 2700 + 2181 = 92,55   m m

E assim temos que:

Passo 2

Como já temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = ∑ I i + A i d i 2

Sendo assim teremos que:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

I = 20250000 + 2700   .     63,05 2 + 0,549   .     10 6 + 2181   .     78,05 2

I = 44818538   m m 4

Passo 3

O raio de giração é calculado pela seguinte equação:

ρ = E I M

Sabemos que:

M = 50   k N m = 50000000   N m m

Como mudamos tudo para aço, podemos usar o modulo de elasticidade do aço.

E = 200   G P a = 200000 N m m 2

Substituindo teremos que:

ρ = 200000   N m m 2 44818538   m m 4 50000000   N m m = 179 274   m m = 179,3   m

Resposta

ρ = 179,3   m

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