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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 30

Uma viga de aço de seção transversal mostrada é submetida a um momento M de 6   k N m . Sabendo-se que E = 200   G P a e ϑ = 0,30 , determinar:

  1. O raio de curvatura ρ ;
  2. O raio de curvatura ρ ' em um plano transversal;
  3. O ângulo entre os lados originalmente verticais, da aba da viga.

Passo 1

Sabemos que o raio de curvatura longitudinal da nossa barra pode ser escrita da seguinte maneira:

1 ρ = M E I

Sabemos que:

ρ = E I M

E se quisermos determinar o raio de curvatura na transversal, teremos que usar a seguinte relação:

ε t = ϑ ε l

Sabemos que:

ε t = c ρ '

ε l = c ρ

Substituindo, teremos que:

c ρ ' = ϑ c ρ

1 ρ ' = ϑ 1 ρ

ρ ' = ρ ϑ

E o macete para determinar o ângulo é usar a seguinte conta:

θ = b ρ '

Sendo assim o mais difícil que temos que determinar, são a LN e o momento de inércia. Então vamos lá.

Começando pela linha neutra teremos que:

  • Primeiro dividir a seção em seções mais simples e numerar elas.

  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.

    • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 A 1 + A 2

Substituindo teremos que:

y - = 1920   .     88 + 1200   .     40 1920 + 1200 = 69,54   m m

E assim temos que:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

    I = 40960 + 1920   .     18,46 2 + 640000 + 1200   .     29,54 2

    I = 2382375   m m 4

    Agora podemos fazer a nossa conta.

    Passo 3

  • Item a)

    • ρ = E I M

    Sabemos pelo enunciado que:

    I = 2382375   m m 4

    E = 200   G P a = 200000   M P a = 200000 N m m 2

    M = 6   k N m = 6000   N m = 6000000   N m m

    Substituindo teremos que:

    ρ = 200000 N m m 2   .   2382375   m m 4   6000000   [ N m m ] = 79413   m m = 79,4 m

  • Item b)

    • ρ ' = ρ ϑ

    ρ ' = 79,4 0,30 = 264,7   m

  • Item c)

    • θ = b ρ ' = 120 m m 264,7 m = 0,12 264,7 = 4,53   .   10 - 4   r a d

    Resposta

  • Item a)

    • ρ = 79,4 m

  • Item b)

    • ρ ' = 264,7   m

  • Item c)

θ = 4,53   .   10 - 4   r a d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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