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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 28

Um colar B, de massa m e de dimensão desprezível, é preso à borda de um aro de mesma massa m e de raio r que rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal; Determine a velocidade angular ω 1 do arco em termos de g e r quando B está diretamente acima do centro A, sabendo que a velocidade angular do arco é 3 ω t quando B está diretamente abaixo de A.

Passo 1

O ponto de contato com o chão é o centro instantâneo

Posição 1: Ponto B está em cima

ω = ω 1                     v B = 2 r ω 1               v A = r ω 1

T 1 = 1 2 m v B 2 + 1 2 m v A 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 m 2 r ω 1 2 + 1 2 m r ω 1 2 + 1 2 m r 2 ω 1 2 = 3 m r 2 ω 1 2

Passo 2

Posição 2: Ponto B está inferior

ω = ω 2                     v B = 0                   v A = r ω 2

T 2 = 1 2 m v B 2 + 1 2 m v A 2 + 1 2 I - ω 2 2 = 0 + 1 2 m r ω 2 2 + 1 2 m r 2 ω 2 2

= m r 2 ω 2 2 = m r 2 3 ω 1 2 = 9 m r 2 ω 1 2

Trabalho: U ∣ → 2 = m g ( Δ h ) = 2 m g r

Passo 3

Princípio do trabalho e da energia

T 1 + U 1 → 2 = T 2 : 3 m r 2 a 1 2 + 2 m g r = 9 m ω 1 2

ω 1 2 = g 3 r

ω 1 = 0.577 g r

Resposta

ω 1 = 0.577 g r

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