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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 9

9. Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 4,5   m e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

Bem! Como as extremidades da coluna estão presas por pinos, de cara já tiramos que o seu fator de comprimento efetivo K , é igual a 1 .

Agora, vamos tratar de obter o momento de inércia em relação ao eixo y da seção transversal da nossa coluna.

Ao olhar a figura, vemos que o que temos que fazer para encontrar nosso momento de inércia I y , é somar o momento de inércia dos retângulos 1 , 2   e 3 :

I y = I 1 + I 2 + I 3

I y = 1 12 b 1 h 1 3 + 1 12 b 2 h 2 3 + 1 12 b 3 h 3 3

Onde

b 1 = 150   m m

h 1 = 12   m m

b 2 = b 3 = 12   m m

h 2 = h 3 = 200   m m

E então, substituindo esses valores na expressão do momento, chega-se à:

I y = 1 12 150   m m 12   m m 3 + 2 ⋅ 1 12 ( 12   m m ) ( 200   m m ) 3

I y ≅ 16021600   m m 4 ≅ 16,021 ⋅ 10 - 6   m 4

Passo 2

Vamos então, usar a fórmula da carga crítica para a flambagem:

P c r = π 2 E I y ( K L ) 2

E substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, chegamos até:

P c r = π 2 ( 200 ⋅ 10 9   P a ) ( 16,021 ⋅ 10 - 6   m 4 ) ( 1 ⋅ 4 , 5   m ) 2

P c r ≅ 1561746,667   N   ≅ 1561,747   k N

Agora, que já achamos sabemos o valor da carga crítica P c r , apliquemos então a outra velha e conhecida fórmula de tensão, dada pela divisão da força P c r pela área A em que ela atua:

σ c r = P c r A

σ c r = 1561746,667   N   2 ⋅ 200   m m ⋅ 12   m m + ( 150   m m ⋅ 12   m m )

σ c r = 1561746,667   N   6600   m m 2

σ c r = 1561746,667   N 6,6 ⋅ 10 - 3   m 2

σ c r ≅ 236,63   M P a

Esse valor é menor do que a tensão admissível para o nosso aço A - 36 , que é igual a 250   M P a . Logo, está tudo certo com nosso resultado!

Resposta

P c r ≅ 1561,747   k N

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