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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 16

16. Uma coluna de aço tem comprimento de 9,0   m e está engastada em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. E a ç o = 200   G P a , σ e = 250   M P a

Passo 1

Falaaa! Queremos achar a carga crítica para essa coluna. Vamos usar a fórmulinha:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Como a coluna está engastada em ambas as extremidades, de cara já tiramos que o seu fator de comprimento efetivo K é igual a 0,5 .

Temos também do enunciado que:

L = 9   m

E = 200   G P a

Só falta achar o momento de inércia I , né? Vamos partir para cima dele então!

Passo 2

Agora, vamos tratar de obter o momentos de inércia em relação ao eixo y da nossa seção. Por que? Cara, esse eixo tem visualmente o menor momento de inércia. Então é em relação a ele que nossa coluna tem mais tendência de flambar.

Dividimos nossa seção em 3 retângulos. O momento de inércia é então a soma do momento de inércia desses 3 caras em relação a y :

I y = 2 × 1 12 b 1 h 1 3 + 1 12 b 2 h 2 3

Onde:

b 1 = 10   m m

h 1 = 200   m m

b 2 = 10   m m

h 2 = 150   m m

Logo, chegamos ao seguinte resutado:

I y = 2 × 1 12 ( 10   m m ) 200   m m 3 + 1 12 ( 10   m m ) ( 150   m m ) 3

I y ≅ 13345833,333   m m 4 ≅ 13,346 ⋅ 10 - 6   m 4

Pronto! Já sabemos o momento de inércia I y em relação ao eixo y .

Passo 3

Vamos então, usar a expressão da carga crítica para a flambagem:

P c r = π 2 E I y ( K L ) 2

E substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, chegamos até:

P c r = π 2 ( 200 ⋅ 10 9   P a ) ( 13,346 ⋅ 10 - 6   m 4 ) ( 0,5 ⋅ 9,0   m ) 2

P c r ≅ 1300919,46   N     ≅ 1300,92   k N

Passo 4

Só falta a gente verificar se nossa carga é satisfatória, calculando o valor da tensão crítica também, né?! Porque essa carga não pode causar uma tensão que ultrapasse a tensão de escoamento do material, beleza?

Sabemos que ela é dada pela seguinte fórmula (a divisão da carga crítica pela área da seção transversal):

σ c r = P c r A

Onde A é a área da nossa seção que a gente acha dividindo ela em retângulos. Substituindo os valores:

σ c r = 1300919,46   N 2 200   m m ⋅ 10   m m + ( 150   m m ⋅ 10   m m )

σ c r = 1300919,46   N 5,5 ⋅ 10 - 3   m 2

σ c r ≅ 236,53   M P a

Esse valor é menor do que a tensão admissível para o nosso material, que é igual a 250   M P a . Logo, está tudo certo com o resultado!

Resposta

C a r g a   c r í t i c a → P c r ≅ 13707,78   N ≅ 13,71   k N

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