Enunciado

A comporta retangular de 2 m de largura tem um pino em seu centro A e é impedida de girar pelo bloco em B . Determine as reações nesses suportes em razão da pressão hidrostática. ρ w = 1,0   M g / m 3 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

O objetivo desta questão é descobrirmos as forças que atuam tanto em A quanto em B (ambas horizontais).

Para isso, nós temos que analisar a comporta na vertical. Portanto, a força hidrostática possui apenas uma componente horizontal, aplicada em algum ponto da barra (que iremos descobrir).

O primeiro passo para resolvermos esta questão é determinar a força resultante devido à pressão hidrostática. Só depois vamos ter informações para calcular as forças em A e em B .

Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar determinando a força resultante e aonde ela atua. Esta força será exatamente:

F x = h c o m p o r t a ⋅ w 1 + w 2 2

Sendo w 1 e w 2 a intensidade da carga medida nos pontos superior e inferior da comporta. Para obtermos os seus valores, basta multiplicar a espessura da comporta pela pressão em cada um dos pontos. Logo,

w 1 = 2 ⋅ p 1 = 2 ⋅ ρ g h 1 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 3 = 58,86   k N / m w 2 = 2 ⋅ p 2 = 2 ⋅ ρ g h 2 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 6 = 117,72   k N / m

Então,

F x = 3 ⋅ 58,86 + 117,72 2 = 264,87   k N

Já o ponto de atuação desta força, medido a partir da superfície do líquido (com o ar), é:

y - = ∫ A y p x , y d A ∫ A p x , y d A = ∫ A y p x , y d A F R

y - = ∫ 3 6 ∫ - 1 1 y ⋅ ρ g y d x d y 264870 = 1000 ⋅ 9,81 ∫ 3 6 ∫ - 1 1 y 2 d x d y 264870

y - = ∫ 3 6 ∫ - 1 1 y 2 d x d y 27 = ∫ 3 6 2 y 2 d y 27 = 2 y 3 3 3 6 27 = 4,667   m

Mas isto medido a partir da superfície viu! Se formos medir a partir da comporta, ela está numa posição:

y = 4,667 - 3 = 1,667   m

Logo abaixo do ponto A (apenas distando 0,167   m ).

Passo 3

Agora vamos para a barra A B . Aqui é a boa e velha questão de equilíbrio estático.

Temos uma barra em equilíbrio com três forças F A ,   F B   e   F R e queremos descobrir os valores destas forças.

Então, basta utilizarmos as equações de equilíbrio. Portanto,

∑ F x = 0 ∑ M R A = 0 ⟹ F R - F A + F B = 0 F R ⋅ 0,167 - F B ⋅ 1,5 = 0

Resolvendo o sistema acima nós obtemos:

F B = 29,5   k N

F A = 235,4   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F B = 29,5   k N

F A = 235,4   k N

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