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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 9

O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B . O tubo menor tem diâmetro externo de 18,75   mm e diâmetro interno de 17   mm , enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25   mm e diâmetro interno de 21,5   mm . Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C , determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo da chave.

Passo 1

Falaaaa, querido! Tá bem?

Então temos que um conjugado é aplicado em um conjunto feito de tubos de aço. Como esse conjugado gera um momento no eixo dos tubos do conjunto, vamos ter que esse tubos estão sofrendo um torque. E esse torque vai causar tensão de cisalhamento em cada um deles.

Queremos descobrir qual é a tensão de cisalhamento máxima em cada tubo! A fórmulinha da tensão de cisalhamento quando se tem torção é

τ = T   r J

Onde T é o torque atuando na seção, r é a distância entre o centro dessa seção e o ponto onde a gente quer a tensão de cisalhamento (na seção) e J é o momento polar de inércia. Como nós temos tubos vazados, esse último carinha é dado por

J = π r e 4 - r i 4 2

Percebe que quanto maior r maior τ , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda dos tubos! Logo, r vai ser o raio externo dos nossos tubos.

τ m á x = T   r e J

A ideia é a gente usar essa fórmulinha e achar a tensão máxima em cada trecho desse conjunto. Bora lá!

Passo 2

Vamos começar achando o momento polar de inércia para cada tubo.

Para o tubo menor ( 1 ) temos:

  • Raio externo: r 1 e = 18,75   mm   / 2 = 9,375   mm .
  • Raio interno: r 1 i = 17   mm   / 2 = 8,5   mm .

    • Logo, o Momento polar de inércia fica:

    J 1 = π ( r 1 e 4 - r 1 i 4 ) / 2 = 3934,373   mm 4

    Para o tubo maior ( 2 ) :

  • Raio externo: r 2 e = 25   mm   / 2 = 12,5   mm .
  • Raio interno: r 2 i = 21,5   mm   / 2 = 10,75   mm .

Aí o Momento polar de inércia é:

J 2 = π ( r 2 e 4 - r 2 i 4 ) / 2 = 17372,019   mm 4

Passo 3

Os momentos polares de inércia nós já temos ( J 1   e   J 2 ) . Opa, então o que nos falta saber é o torque em cada tubo!

Vamos procurar esses torques, T 1 que age no tubo menor e T 2 que age no maior.

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo. O que a gente vai fazer é cortar nosso conjunto em cada um desses trechos e achar o torque atuante na seção.

Para o trecho A B :

Pelo equilíbrio:

∑ M y = 0

Percebe que o torque gerado pelas forças é oposto ao torque no nosso diagrama, então vamos ter

75   N × 150   m m + 75 × 200   m m - T 1 = 0

T 1 = + 75   N ⋅ 150   mm + 75   N ⋅ 200   mm

T 1 = + 26,25   Nm

Passo 4

Agora vamos para o trecho B C . Vamos fazer uma seção nesse trecho e achar T 2 :

Pelo equilíbrio:

∑ M y = 0

Percebe que o torque gerado pelas forças é oposto ao torque no nosso diagrama novamente, então vamos ter

75   N × 150   m m + 75 × 200   m m - T 2 = 0

T 2 = + 75   N ⋅ 150   mm + 75   N ⋅ 200   mm

T 2 = + 26,25   Nm

Passo 5

Agora é usar a fórmula! Primeiro para o tubo menor:

τ m a x = T   r J         →         τ 1 m a x = 26,25   N m   ⋅ 9,375   mm 3934,373   mm 4

τ 1 m a x = 62,55   MPa

Agora para o tubo maior:

τ m a x = T   r J         →         τ 2 m a x = 26,25   N m   ⋅ 12,5   mm 17372,019   mm 4

τ 2 m a x = 18,89   MPa

Resposta

Tensão de cisalhamento máxima no tubo menor: τ 1 m a x = 62,55   MPa .

Tensão de cisalhamento máxima no tubo maior: τ 2 m a x = 18,89   MPa .

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