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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 21

O eixo maciço com 60   mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo e especifique suas localizações, medidas em relação à extremidade fixa.

Passo 1

Um eixo preso a uma parede sofre uma torção uniformemente distribuída t = 2   kNm/m e algumas torções concentradas.

Queremos achar a tensão de cisalhamento máxima τ M e mínima. τ m . A questão também pede que digamos onde essas tensões ocorrem, medindo a partir da parede.

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio: r = 60 / 2 = 30   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π ⋅ 30 4 / 2 = 1272345,025   mm 4 .

O J é constante pro eixo todo. Estamos interessados na borda do eixo ( r = 30   mm ) . Então o que nos falta descobrir são os torques! Bora ver isso primeiro

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo.

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido A a C para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque. Para já adiantar pra questão, já pense logo em como usar um x que nos diga a quantos metros da parede esses torques estão ocorrendo.

  • Torque na seção a partir da extremidade livre até x = 0,8   m :

    • T 1 = + 400   Nm

  • Torque na seção entre x = 0,8 e x = 0 (parede!):

T 2 = + 400   Nm - 600   Nm + 2   kNm/m ⋅ ( 0,8   m - x )

T 2 x = - 200   Nm + 2   kNm/m ⋅ ( 0,8   m - x )

Agora que temos os torques, vamos analisar cada caso que queremos.

Passo 3

Primeiro para a tensão máxima. Queremos um torque máximo. Bem, pelo menos T 1 = + 400   Nm a gente já tem!

Vamos ver se a gente consegue mais ainda com o T 2 . O maior valor dele ocorre em x = 0   m .

T 2 0 = - 200   Nm + 2   kNm/m ⋅ 0,8   m - 0

T 2 0 = 1400   Nm

Opa! Ótimo, esse é o maior torque que a gente consegue. Jogar na fórmula da tensão!

τ = T   r J         →         τ M = 1400   Nm ⋅ 30   mm 1272345,025     mm 4

τ M = 33,01   MPa

Passo 4

Agora vamos ver o mínimo de tensão que ocorre no eixo. Vamos tentar zerar T 2 pra ver se tem um x que é capaz disso:

T 2 x = 0

- 200   Nm + 2   kNm/m ⋅ 0,8   m - x = 0

0,8   m - x = 0,1   m

x = 0,7   m

Show! Em x = 0,7   m da parede a torção é zero! Então a tensão mínima fica

τ m = 0   MPa

Resposta

A tensão máxima ocorre a x = 0   m da parede com valor τ M = 33,01   MPa .

A tensão mínima ocorre a x = 0,7   m da parede com valor τ m = 0   MPa .

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