Enunciado

O eixo maciço é submetido aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τ a d m = 175   MPa .

Passo 1

Um eixo preso a uma parede sofre uma torção uniformemente distribuída t = 2   kNm/m e algumas torções concentradas.

A tensão no eixo não pode ultrapassar τ a d m = 175   MPa .

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Diâmetro: d . (Desconhecido!)
  • Momento polar de inércia: J = π d 4 / 32 .

Temos que checar qual é o diâmetro d que o eixo precisa ter para não ter tensões acima de τ a d m = 175   MPa !

Primeiro vamos procurar onde ocorre a tensão máxima no eixo! Se projetarmos nesse lugar crítico, aí todo o resto tá seguro.

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo.

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido A a C para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque. Para já adiantar pra questão, já pense logo em como usar um x que nos diga a quantos metros da parede esses torques estão ocorrendo.

  • Torque na seção a partir da extremidade livre até x = 0,8   m :
  • T 1 = + 400   Nm

  • Torque na seção entre x = 0,8 e x = 0 (parede!):

T 2 = + 400   Nm - 600   Nm + 2   kNm/m ⋅ ( 0,8   m - x )

T 2 x = - 200   Nm + 2   kNm/m ⋅ ( 0,8   m - x )

Agora que temos os torques, vamos analisar cada caso que queremos.

Passo 3

A tensão máxima vai ocorrer com um torque máximo. Vamos ver se a gente consegue mais que T 1 = + 400   Nm  com o T 2 . O maior valor dele ocorre em x = 0   m .

T 2 0 = - 200   Nm + 2   kNm/m ⋅ 0,8   m - 0

T 2 0 = 1400   Nm

Opa! Esse é o maior torque que a gente consegue.

Passo 4

Jogar na fórmula da tensão e use a admissível!

τ = T   r J         →         175   MPa = 1400   Nm ⋅ d / 2 π d 4 / 32

d =   34,41   mm

Resposta

Diâmetro: d =   34,41   mm .

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