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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29

O eixo tem diâmetro de 80   mm e, devido ao atrito na superfície no interior do furo, está sujeito a um torque variável descrito pela função t = 25 x ⋅ e x 2   Nm/m , onde x é dado em metros. Determine o torque mínimo T 0 necessário para vencer o atrito e fazer o eixo girar. Determine também a tensão máxima absoluta no eixo.

Passo 1

Um eixo está sob torque distribuído segundo

t = 25 x ⋅ e x 2   Nm/m

Queremos saber qual é o torque mínimo que deve ser aplicado para vencer o atrito.

Depois, queremos saber qual a tensão máxima que acontece no eixo. Sabemos pela fórmula da torção que

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio: r = 80 / 2 = 40   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 = 4021238,597   mm 4
  • Comprimento sob atrito: L = 2   m

Passo 2

O torque mínimo para vencer o atrito é aquele que traz o equilíbrio. Ou seja, é o torque T 0 que equivale o torque gerado por t = 25 x ⋅ e x 2   Nm/m ao longo de L = 2   m .

Para calcularmos isso, vamos precisar integrar!

T 0 = ∫ 0 2 25 x ⋅ e x 2 d x  

Dá pra ficar fácil com substituição! Use u = x 2 , e aí temos que d u = 2 x d x . Quando x = 2 , ficamos com u = 4

T 0 = ∫ 0 4 25 2 ⋅ e u d u = = 25 2 ⋅ e 4 - e 0

T 0 = 669,98   Nm

Passo 3

A tensão máxima τ M ocorre em r = 40   mm .

τ = T   r J       →         τ M = 669,98   Nm ⋅ 40   mm 4021238,597   mm 4

τ M = 6,664   MPa

Resposta

Torque mínimo: T 0 = 669,98   Nm .

Tensão máxima: τ M = 6,664   MPa .

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