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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 46

Em sua corrida para decolagem, um avião parte do repouso e acelera de acordo com a = a 0 - k v 2 , onde a 0 é a aceleração constante resultante do empuxo do motor e - k v 2 é a aceleração devido ao arrasto aerodinâmico. Se a 0 = 2   m / s ² , k = 0,00004   m - 1 e v é expresso em metros por segundo, determine o comprimento de projeto da pista necessário para o avião atingir a velocidade de decolagem de 250   k m / h se o termo de arrasto é (a) excluído e (b) incluído.

Passo 1

(a) Vamos começar com o caso sem arrasto. A aceleração vai ser simplesmente:

a = a 0 = 2 m / s 2

E a distância necessária para ir de uma velocidade v 0 = 0 até v = 250   k m / h ≅ 69,4 m / s pode ser calcualda usando só a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

69,4 2 = ( 2 ) ( 2 ) ( Δ s )

Δ s = 1204   m

Passo 2

(b) Quando consideramos o arrasto a coisa fica bem mais complicada. Vamos lembrar da definição da aceleração:

a = d v d t = d v d x d x d t   = v   d v d x

a   d v = v   d v

Substituindo a pela fórmula que inclui o arrasto:

a o - k v 2 d x = v   d v

E separando as variáveis:

d x = v a o - k v 2   d v

Passo 3

Agora podemos integrar essa equação para chegar na expressão que precisamos:

∫ 0 x d x = ∫ 0 v v a o - k v 2   d v

x = - 1 2 k ln ⁡ a o - k v 2 a 0

E então se queremos que v = 69,4   m / s , a distância percorrida será:

x = - 1 2 0,00004 ln ⁡ 1 - 0,00004 2 69,4 2

x ≅ 1266   m

Resolvido!

Resposta

(a) D = 1204   m

(b) D = 1266   m

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