A mola de 350   m m é comprimida para um comprimento de 200   m m , quando é liberada a partir do repouso e acelera o bloco deslizante A . A aceleração tem um valor inicial de 130   m / s ² e em seguida diminui linearmente com o movimento x do bloco, chegando a zero quando a mola recupera o seu comprimento original de 350   m m . Calcule o tempo t para o bloco ir até (a) 75   m m e (b) 150   m m .

Passo 1

A aceleração do bloco vai seguir a seguinte expressão:

a = 130 - k x

E como a = 0 quando x = 150   m m (o deslocamenteo a partir do ponto onde a mola é completamente achatada):

0 = 130 - k ( 0.15 )

k = 130 0.15 ≅ 866   s - 2

Então podemos escrever o seguinte:

a = 130 - 866 x

a ≅ 130 ( 1 - 6,66 x )

Passo 2

Ok, como vamos aproveitar isso? Vamos lembrar da seguinte relação:

a = d v d t = d v d x   d x d t

a = v   d v d x

a   d x = v   d v

E integrando:

∫ 0 x a   d x = ∫ 0 v v   d v

130 ∫ 0 x ( 1 - 6,66 x )   d x = ∫ 0 v v   d v

130 x - 3,33 x 2 = v 2 2

v 2 = 260 ( x - 3,33 x 2 )

Passo 3

Precisamos transformar isso em uma função do tempo. Vamos lembrar da definição de velocidade:

v = d x d t

d t = d x v

d t = d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

∫ 0 t d t = ∫ 0 x d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

t = ∫ 0 x d x 260 ( x - 3,33 x 2 )

Essa é uma integral do tipo:

∫ d x a x 2 + b x + c

Bom pessoal, essa não é uma integral simples de resolver, a melhor opção é consultar uma tabela ou resolver numericamente.

Resolvendo numericamente, para x = 0,075   m , temos:

t = 0,034   s

E para x = 0,150   m , temos:

t = 0,050   s

Resposta

(a) t = 0,034   s

(b) t = 0,050   s

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