Um veículo auto-impulsionado de massa m cujo motor fornece uma potência constante P tem uma aceleração a = P / ( m v ) onde toda resistência devida ao atrito é desprezada. Determine expressões para a distância s percorrida e o tempo t correspondente exigido pelo veículo para aumentar a sua velocidade de v 1 até v 2 .

Passo 1

Vamos lembrar da seguinte relação:

a = d v d t = d v d s d s d t

a = v d v d s

a   d s = v   d v

Substituindo a expressão do enunciado:

P m v d s = v   d v

  d s = m P v 2   d v

Passo 2

Se integrarmos a equação em ambos os lados vamos obter uma expressão para a distância percorrida quando v vai de v 1 até v 2

∫ 0 s d s = m P ∫ v 1 v 2 v 2   d v

s = m 3 P ( v 2 3 - v 1 3 )

Passo 3

E agora precisamos de uma expressão que relacione velocidade e tempo:

a = d v d t

d v = a   d t

Tranquilo, né? Agora é só substituir a fórmula do enunciado e integrar:

d v = P m v   d t

m P v   d v = d t

m P ∫ v 1 v 2 v   d v = ∫ 0 t d t

t = m 2 P ( v 2 2 - v 1 2 )

Resolvido!

Resposta

A distância é dada por s = m 3 P ( v 2 3 - v 1 3 ) e o tempo é t = m 2 P ( v 2 2 - v 1 2 ) .

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