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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 103

No corte do motor principal de seu décimo terceiro voo, o ônibus espacial Discovery estava em uma órbita elíptica de altitude mínima de 40,3 milhas e altitude máxima de 336 milhas acima da superfície da Terra. Sabendo que no Ponto A a lançadeira tinha uma velocidade v 0 paralela à superfície da Terra e que a lançadeira foi transferida para uma órbita circular ao passar pelo Ponto B, determine (a) a velocidade v 0 da lançadeira em A, (b ) o aumento na velocidade necessária em B para inserir o ônibus espacial na órbita circular.

Passo 1

Para Terra R = 3960 m i = 20.909 × 10 6 f t

G M = g R 2 = ( 32.2 ) 20.909 × 10 6 2 = 14.077 × 10 15 f t 3 / s 2

r A = 3960 + 40.3 = 4000.3 m i = 21.1216 × 10 6 f t

r B = 3960 + 336 = 4296 m i = 22.6829 f t

Passo 2

Trajetória Elíptica

Use Eq 12.39: 1 r A = G M h 2 + C c o s ⁡ θ A   a n d   1 r B = G M h 2 + C c o s ⁡ θ B

Mas θ B = θ A + 180 ∘ ,   s o   t h a t   c o s ⁡ θ A = - c o s ⁡ θ B

Adicionando 1 r A + 1 r B = r A + r B r A r B = 2 G M h 2

h = 2 G M r A r B r A + r B

= ( 2 ) 14.077 × 10 15 21.1216 × 10 6 22.6829 × 10 6 43.8045 × 10 6

= 554.911 × 10 9 f t 2 / s

Passo 3

(a) Velocidade v 0 em A:

v 0 = v A = h r A = 554.911 × 10 9 21.1216 × 10 6 v 0 = 26.3 × 10 3 f t / s

v B 1 = h r A

= 554.911 × 10 9 22.6829 × 10 6

= 24.464 × 10 3 f t / s

Passo 4

Para uma órbita circular através do ponto B

v B c i r c   = G M r B

= 14.077 × 10 15 22.6829 × 10 6

= 24.912 × 10 3 f t / s

Passo 5

(b) Aumento na velocidade no ponto B

Δ v B = v B c i r c - v B 1   = 448 f t / s  

Resposta

(a) v 0 = 26.3 × 10 3 f t / s

(b) Δ v B = 448 f t / s

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