Um cubo sólido de densidade uniforme e lados com dimensão b se encontra em equilíbrio na parte superior de um cilindro de raio R (Figura 2.C). Os planos dos quatro lados do cubo são paralelos ao eixo do cilindro. O contato entre o cubo e o cilindro é perfeitamente áspero. Sob quais condições o equilíbrio é estável ou não estável?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Diagramando a situação problema:

A partir da figura temos:

h θ = R + b 2 cos ⁡ θ + R θ s e n   θ

E a energia potencial é dada por:

E p o t = m g h ( θ )

Daí, teremos que:

d E p o t d θ = m g d h d θ = m g - R s e n   θ - b 2 s e n   θ + R s e n   θ + R θ cos ⁡ θ =

= m g - b 2 s e n   θ + R θ cos ⁡ θ

d 2 E p o t d θ 2 = m g - b 2 cos ⁡ θ + R c o s   θ - R θ s e n   θ = m g R - b 2 cos ⁡ θ - R θ s e n   θ

Passo 2

O ponto de equilíbrio (onde dEpot/dθ = 0) que desejamos observar é claramente θ = 0. Nesse ponto, temos d2Epot/dθ2 = mg(R – b/2), que é estável para R > b/2 e instável para R b/2 e instável para R ≤ b/2.

Resposta

Ver passo a passo.

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