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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 194

Por um curto período de tempo, um avião a jato move-se ao longo de uma trajetória de uma lemniscata, r 2 = 2500 cos ⁡ 2 θ   k m 2 . No instante que θ = 30 ° , o equipamento rastreador de radar está girando a θ ˙ = 5 10 - 3   r a d / s com θ ¨ = 2 10 - 3   r a d / s 2 . Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do avião nesse instante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do avião nesse quando θ = 30 ° = π / 6   r a d .

Nos é dada a equação da posição:

r 2 = 2500 cos ⁡ 2 θ

r = 50 cos ⁡ 2 θ

Vamos derivar essa equação dos dois lados:

d d t ( r 2 ) = d d t ( 2500 cos ⁡ 2 θ )

2 r d r d t = - 2500 2 sin ⁡ 2 θ d θ d t

2 r r ˙ = - 5000 sin ⁡ 2 θ θ ˙

Logo:

r ˙ = - 2500 sin ⁡ 2 θ θ ˙ r

Agora temos que encontrar a equação para a aceleração:

d d t ( 2 r r ˙ ) = d d t ( - 5 0 00 sin ⁡ 2 θ θ ˙ )

Note que agora temos que aplicar a regra do produto na derivação pois temos r multiplicando r ˙ , e sin ⁡ 2 θ multiplicando θ ˙ .

A regra do produto é aplicada quando é necessário fazer a derivada do produto de equações.

Logo:

2 1 d r d t r ˙ + r d r ˙ d t = 5000 - 2 cos ⁡ 2 θ d θ d t θ ˙ - sin ⁡ 2 θ d θ ˙ d t

2 r ˙ r ˙ + r r ¨ = 5000 - 2 cos ⁡ 2 θ θ ˙ θ ˙ + sin ⁡ 2 θ θ ¨

2 r ˙ 2 + 2 r r ¨ = - 10000 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - 5000 sin ⁡ 2 θ θ ¨

Queremos a aceleração dada por r ¨ , logo:

r ¨ = - 5000 sin ⁡ 2 θ θ ¨ - 10000 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - 2 r ˙ 2 2 r

Passo 2

Agora que já descobrimos as equações que vamos precisar, é só aplicar os dados do enunciado, ou seja, quando θ = 30 ° , θ ˙ = 5 10 - 3   r a d / s e θ ¨ = 2 10 - 3   r a d / s 2 :

r θ = 30 ° = 50 cos ⁡ 60 °

r θ = 30 ° = 35,36   k m

r ˙ θ = 30 ° = - 2500 sin ⁡ 60 ° 5 10 - 3 35,36

r ˙ θ = 30 ° = - 0,3062   k m / s

r ¨ θ = 30 ° = - 5000 sin ⁡ 60 ° 2 10 - 3 - 10000 cos ⁡ 60 ° 5 10 - 3 2 - 2 - 0,3062 2 2 35,36

r ¨ θ = 30 ° = - 0,1269   k m / s 2

Agora temos todos os dados necessários para resolver nosso problema.

Os valores de v r e v θ são dados por:

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Logo:

v r = - 0,3062   k m / s

v r = - 306   m / s

E:

v θ = 35,36   5 10 - 3

v θ = 0,1768   k m / s

v θ = 176,8   m / s

Os valores de a r e a θ são dados por:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo:

a r = - 0,1269 - 35,36 5 10 - 3 2

a r = - 0,1278   k m / s 2

a r = - 128   m / s 2

E:

a θ = 35,36 2 10 - 3 + 2 - 0,3062 5 10 - 3

a θ = 0,06765   k m / s 2

a θ = 67,65   m / s 2

Resposta

v r = - 306   m /

v θ = 176,8   m / s

a r = - 128   m / s 2

a θ = 67,65   m / s 2

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