Enunciado

A curva mostrada na F i g .   P 3.89 e F i g .   P 3.92 pode ser aproximada pela relação:

τ = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

Usando esta relação e as equações (3.2) e (3.26) resolver o problema indicado.

Passo 1

Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:

Ф = 10 ° = 10 π 180 = 0,17453

L = 600 m m = 0,600 m

c 1 = 1 2 D 1 = 20 2 = 10 m m = 0,010   m

c 2 = 1 2 D 2 = 50 2 = 25 m m = 0,025   m

Com isso podemos determinar as máximas deformações especificas cisalhantes, com isso teremos que:

γ m a x = c 2 Ф L = ( 25 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,007272

γ m i n = c 1 Ф L = ( 10 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,002909

E as equações que o enunciado menciona são dadas por:

  • Equação (3.2)
  • γ = ρ Ф L

    γ m a x = c Ф L

  • Equação (3.26)

T = 2 π ∫ 0 c ρ 2 τ   d ρ

Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:

γ = ρ c γ m a x

E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:

Z = γ γ m a x = ρ c 2

E também podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira:

Z 1 = c 1 c 2 = 10 25 = 2 5

Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela seguinte fórmula:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 ρ 2 τ   d ρ

Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:

ρ = Z c 2

Substituindo na equação teremos que:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 ( Z c 2 ) 2 τ   d ρ

Que na equação passará a ser:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 Z 2 c 2 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   d ρ

Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.

ρ = Z c 2

d ρ = c 2 d Z

Substituindo teremos que:

T = 2 π c 2 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   ( c 2 d Z )

Lembrando que ρ é a variação do raio c 1 até o raio c 2 , e que a variação do fator Z é feito da seguinte maneira:

Z = ρ c 2   e   Z 1 = c 1 c 2

Se dividirmos as variações da integral por c 2 , teremos que:

T = 2 π c 2 3 ∫ c 1 c 2 c 2 c 2 Z 2 τ   d Z = 2 π c 2 3 ∫ Z 1 1 Z 2 τ   d Z

E já sabemos que pelo cálculo que fizemos antes temos que:

Z 1 = c 1 c 2 = 10 25 = 2 5

Assim teremos que:

T = 2 π c 2 3 ∫ 2 5 1 Z 2 τ   d Z

Sabemos que o enunciado já nos dá uma equação, mas que podemos escrever o seguinte:

τ = B γ + C γ 2

Como temos uma equação dada por:

Z = γ γ m a x

Podemos escrever a seguinte equação:

γ = Z γ m a x

Substituindo na nossa equação da tensão cisalhante teremos que:

τ = B Z γ m a x + C ( Z γ m a x ) 2

τ = B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2

Como no nosso enunciado temos uma equação de tensão cisalhante, podemos comparar as duas da seguinte maneira:

τ = B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2

τ = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2 = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

B = 27,8   x   10 9

C = - 1,390   x   10 12

Substituindo na nossa integral teremos que:

T = 2 π c 2 3 ∫ 2 5 1 Z 2 τ   d Z

T = 2 π c 2 3 ∫ 2 5 1 Z 2 ( B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2 )   d Z

T = 2 π c 2 3 ∫ 2 5 1 Z 3 B γ m a x + C Z 4 γ m a x 2   d Z

T = 2 π c 2 3 ( Z 4 4 B γ m a x + Z 5 5 C γ m a x 2 ) 1 2 5

T = 2 π c 2 3 1 4 4 B γ m a x + 1 5 5 C γ m a x 2 - 2 5 4 4 B γ m a x + 2 5 5 5 C γ m a x 2

Sabemos que:

c 2 = 0,025   m

γ m a x = 0,007272

B = 27,8   x   10 9

C = - 1,390   x   10 12

T = 2 π ( 0,025   ) 3 1 4 ( 27,8   x   10 9 ) ( 0,007272 ) + 1 5 - 1,390   x   10 12 0,007272 2 - 2 5 4 4 ( 27,8   x   10 9 ) ( 0,007272 ) + 2 5 5 5 - 1,390   x   10 12 0,007272 2

T = 2 π ( 0,025   ) 3 35839208 - 1143294 = 3406   N m

T = 3406   N m = 3,41   k N m

Passo 2

O item B) precisamos determinar a deformação máxima especifica cisalhante da nossa peça, e para isso o enunciado nos ajuda com alguns dados. Sabemos que a fórmula que vai nos ajudar é dada por:

γ m a x = c Ф L

Mas já calculamos esse valor:

γ m a x = c 2 Ф L = ( 25 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,007272 ≅ 0,007

Substituindo na nossa equação teremos que:

τ = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

τ = 27,8   x   10 9   0,007272 - 1,390   x   10 12   0,007272 2 = 128655642 N m 2 = 128,7   M P a

Resposta

T = 3,41   k N m

τ = 128,7   M P a

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