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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 19

Derive as expressões a seguir utilizando álgebra vetorial:

  1. cos ⁡ α - β = cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   α   s e n   β
  2. s e n α - β = s e n   α cos ⁡ β - cos ⁡ α s e n   β

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Item a

Começamos notando que:

a - b 2 = a 2 + b 2 - 2 a b c o s   ( α - β )

Também podemos escrever que:

a - b 2 = a 1 - b 1 2 + a 2 - b 2 2 = acos ⁡ α - b c o s   β 2 + a s e n   α - b s e n   β 2 =

= a 2 s e n 2 α + cos 2 ⁡ α + b 2 s e n 2 β + cos 2 ⁡ β - 2 a b cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   α s e n   β =

= a 2 + b 2 - 2 a b ( cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   α s e n   β )

Comparando as duas equações de a - b 2 temos que:

cos ⁡ α - β = cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   α s e n   β

Item b

s e n α - β = 1 - cos 2 ⁡ α - β =

= 1 - cos 2 ⁡ α cos 2 ⁡ β - s e n 2 α s e n 2 β - 2 cos ⁡ α s e n α cos ⁡ β s e n β =

= 1 - cos 2 ⁡ α 1 - s e n 2 β - s e n 2 α 1 - cos 2 ⁡ β - 2 cos ⁡ α s e n α cos ⁡ β s e n β =

= s e n 2 α cos 2 ⁡ β - 2 s e n α   s e n β cos ⁡ α cos ⁡ β + cos 2 ⁡ α s e n 2 β =

= s e n α cos ⁡ β - cos ⁡ α s e n   β 2 = s e n   α cos ⁡ β - cos ⁡ α s e n β

Ou seja:

s e n α - β = s e n   α cos ⁡ β - cos ⁡ α s e n β

Resposta

Ver passo a passo.

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