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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 36

36- Desenvolva os produtos escalares B . C e B ' . C , onde B = B ' , e use os resultados obtidos para demonstrar a identidade

s e n   α cos ⁡ β = 1 2 cos ⁡ α + β + 1 2 cos ⁡ α - β

Passo 1

A definição de produto escalar é dada por:

A → . B → = A B c o s   θ

Onde θ é o ângulo formado entre os dois vetores e A, B e C são simplesmente valores, números.

O ângulo formado entre C e B pelo desenho vale α - β e pelo desenho também vemos que o ângulo formado entre C e B ' vale α + β

Logo:

C → . B → = C B cos ⁡ α - β

E

C → . B → = C B ' cos ⁡ α + β

Como o valor de B ' é igual a B logo:

C → . B ' → = C B cos ⁡ α + β

Passo 2

Também conseguimos ver que se rebatermos os vetores B e C nos eixos x e y nós teremos:

B → = B cos ⁡ β i + s e n   β j  

B ' → = B [ cos ⁡ β ) i - s e n   β j

C → = C [ cos ⁡ α )   i + s e n   α j

Então substituindo no que encontramos no passo anterior nós teremos as duas equações:

B C c o s   α c o s   β + B C s e n   α s e n   β = B C c o s α - β  

B C c o s   α   c o s   β - B C s e n   α   s e n   β = B C c o s α + β

Somando as duas equações temos que:

cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 cos ⁡ α - β + 1 2 cos ⁡ α + β

E diminuindo uma pela outra temos:

s e n   α   s e n   β = 1 2 cos ⁡ α - β - 1 2 cos ⁡ α + β

Acredito que tenha havido um erro de digitação pois por multiplicação escalar não dá para chegar no resultado de s e n   α cos ⁡ β

Resposta

cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 cos ⁡ α - β + 1 2 cos ⁡ α + β

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