Enunciado

Determine a altura máxima h da massa m para a qual o pêndulo invertido será estável na posição vertical mostrada. Cada uma das molas tem uma rigidez k, e elas têm pré-compressão iguais nesta posição. Despreze a massa do restante do mecanismo.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Observe que há força P agindo no sistema, há também uma mola acoplada e que a massa é desprezada. Sabendo disso, podemos escrever a equação de equilíbrio

δ U = δ V δ V g + δ V e = 0 (1)

Veremos no esboço que a distância y é

y = h c o s ⁡ θ

Passo 2

Expressão para energia potencial gravitacional

V g = m g h

Substituiremos h  por  h c o s ⁡ θ

V g = m g h c o s ⁡ θ

Derivaremos ambos lados da equação

δ V g = - m g h s i n ⁡ θ δ θ (2)

Passo 3

Uma vez que existem duas molas ligadas ao sistema, a expressão da energia potencial elástica é

V e = 1 2 k l A 2 + l B 2

Uma vez que l A = l B = b s i n ⁡ θ , escreveremos a equação acima como

V e = k ( b s i n ⁡ θ ) 2

Derivaremos ambos lados da equação

δ V e = 2 k b 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ δ θ (3)

Passo 4

A seguir, substituiremos δVg e δVe pelas expressões (2) e (3) na equação de equilíbrio (1)

- m g h s i n ⁡ θ + 2 k b 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = 0

Observe que o sistema é estável quando a segunda derivada da equação de equilíbrio é maior que zero

- m g h s i n ⁡ θ + 2 k b 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ d V d θ > 0 - m g h c o s ⁡ θ + 2 k b 2 c o s 2 ⁡ θ - s i n 2 ⁡ θ > 0 (4)

Para verificar a estabilidade da posição θ = 0, vamos simplesmente colocar o valor de θ em (4)

- m g h cos ⁡ θ ⏞ = 1 a + 2 k b 2 c o s 2 ⁡ θ - s i n 2 ⁡ θ ⏞ - 1 > 0 > 0 - m g h + 2 k b 2 > 0 2 k b 2 > m g h

Podemos expressar a altura h como

h < 2 k b 2 m g

Resposta

h < 2 k b 2 m g

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