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Enunciado

Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 50

Determine o centroide y - da seção transversal e determine o momento de inércia da seção em relação ao eixo x ’ .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Temos que determinar o valor de y - que é o centroide com relação ao eixo y e que localiza o eixo x ' e depois calcular o momento de inércia da viga com relação a esse eixo.

Como resolver problemas de momento de inércia de um elemento com geometria não simétrica?

Bem... Um modo bem prático é dividir o elemento em partes, calcular o momento de inércia de cada parte com relação ao eixo e somar os resultados.

Aqui, podemos dividir a área da seção transversal do elemento da seguinte maneira:

É importante separar as partes, sabendo os seus respectivos centroides.

Vamos aos cálculos!

Passo 2

Para o cálculo de y - , temos que:

y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Ficou confuso com a fórmula? Vem comigo então!

Vamos começar calculando as áreas das partes definidas no desenho;

Área da parte retangular (1)

A 1 = 0.4 0.3

A 1 = 0.12 m 2

Centroide:

y 1 = 0.05 + 0.4 2

y 1 = 0.25   m

Área da parte retangular (2)

A 2 = 2 × 1 2 × ( 0.2 ) ( 0.4 )

A 2 = 0.08   m 2

Centroide:

y 2 = 0.05 + 0.4 3

y 2 = 0.1833     m

Área da parte retangular (3)

A 3 = ( 1.1 ) ( 0.05 )

A 3 = 0.055   m 2

Centroide:

y 3 = 0.05 2

y 3 = 0 . 0 25   m

Passo 3

Esta equação indica que o valor de y - é dado pela soma do produto entre o centroide e a área de cada elemento dividido pela soma das áreas de cada elemento.

Vamos calcular o centroide de toda parte sobre o eixo x;

y - = y - 1 A 1 + y - 2 A 2 + y - 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

Agora é só substituir os valores e calcular:

y - = 0.12 × 0.25 + 0.08 × 0.1833 + ( 0.055 × 0.025 ) 0.12 + 0.08 + 0.055

y - = 0.046039 0.255

y - = 0.181   m m

Passo 4

Agora vamos calcular o valor do momento de inércia da viga com relação ao eixo x ' .

Sabendo que para elementos retangulares, temos que:

I x = b h 3 12 + A d 2

Onde b representa o comprimento da base do elemento, h representa o comprimento da altura do elemento, A representa o valor da área do elemento e d a distância do centroide do elemento até o eixo a ser medido.

Para o elemento 1 , temos que:

I x ' 1 = 0.3 × 0.4 3 12 + 0.12 ⋅ 0.180545 - 0.25 2

I x ' 1 = 0.00217888   m 4

Para o elemento 2 , temos que:

I x ' 2 = 2 × 0.2 × 0.4 3 36 + 0.08 ⋅ 0.180545 - 0.1833 2

I x ' 2 = 0.0007117   m 4

Para o elemento 3 , temos que:

I x ' 3 = 1.1 × 0.05 3 12 + 0.055 ⋅ 0.180545 - 0.025 2

I x ' 3 = 0.00132158   m 4

Portanto:

I x ' = I x ' 1 + I x ' 2 + I x ' 3

I x = 0.00217888 + 0.0007117 + 0.00132158

I x ' = 0.00423   m 4

Resposta

I x ' = 0.00423   m 4

y - = 0.181   m m

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