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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 181

Determine a direção da binormal à trajetória descrita pela partícula do Problema 11.96 quando (a) t = 0, (b) t = π /2 s.

Passo 1

E ai galera tudo certinho? O enunciado pede que a geente encontre a direção da binormal

Dado:

r = A t cos ⁡ t i + A t 2 + 1 j + B t sin ⁡ t k

r - ft ,             t - 5 ;             A = 3 ,           B - 1

e b = v × a v × a

Agora

r = 3 t cos ⁡ t i + 3 t 2 + 1 j + t sin ⁡ t k

Então

v = d r d t

3 cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + 3 t t 2 + 1 j + sin ⁡ t + t cos ⁡ t k

Passo 2

a = d v d t = 3 - sin ⁡ t - sin ⁡ t - t cos ⁡ t i + 3 t 2 + 1 - t t t 2 + 1 t 2 + 1 j

+ cos ⁡ t + cos ⁡ t - t sin ⁡ t k = - 3 2 sin ⁡ t + t cos ⁡ t i + 3 t 2 + 1 3 / 2 j + 2 cos ⁡ t - t sin ⁡ t k

Passo 3

  1. Em t = 0:

    2. v = 3   ft/s i

    a = 3   ft/ s 2 j + 2   ft/ s 2 k

    Então

    v × a = 3 i × 3 j + 2 k

    = 3 - 2 j + 3 k

    e

    v × a = 3 - 2 2 + 3 2 = 3 13

    Então

    e b = 3 - 2 j + 3 k 3 13 = 1 13 - 2 j + 3 k

    cos ⁡ θ x = 0           cos ⁡ θ y = - 2 13           cos ⁡ θ z = 3 13

    Passo 2

  2. Em t = π 2 s:

v = - 3 π 2 ft/s i + 3 π π 2 + 4 ft/s j + 1   ft/s k

a = - 6   ft/ s 2 i + 24 π 2 + 4 3 / 2   ft/ s 2 j - π 2   ft/ s 2 k

Então

v × a = i j k - 3 π 2 3 π π 2 + 4 1 / 2 1 - 6 24 π 2 + 4 3 / 2 - π 2

= - 3 π 2 2 π 2 + 4 1 / 2 + 24 π 2 + 4 3 / 2 i - 6 + 3 π 2 4 j

+ 36 π π 2 + 4 3 / 2 + 18 π π 2 + 4 1 / 2 k

= - 4.43984 i - 13.40220 + 12.99459 k

e

v × a = - 4.43984 2 + - 13.40220 2 + 12.99459 2 1 / 2

= 19.18829

Então

e b = 1 19.1829 - 4.43984 i - 13.40220 j + 12.99459 k

cos ⁡ θ x = - 4.43984 19.18829           cos ⁡ θ y = - 13.40220 19.18829             cos ⁡ θ z = - 12.99459 19.18829

Resposta

a)  θ x = 90 °             θ y = 123.7 °             θ z = 33.7 °

b)  θ x = 103.4 °             θ y = 134.3 °             θ z = 47.4 °

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