30. A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é v = v 0 - k s , onde k   é constante. Se s = 0 quando t = 0, determine a posição e a aceleração da partícula como uma função do tempo.

Passo 1

Sabemos da cinemática, que a velocidade de uma partícula é dada por:

v = d s d t

d t = d s v

d t = d s v 0 - k s

∫ 0 t d t = ∫ 0 s d s v 0 - k s

t = - 1 k ln ⁡ ( v 0 - k s ) 0 s

t = - 1 k ln ⁡ v 0 - k s - ln ⁡ v 0

t k = ln ⁡ v 0 - ln ⁡ v 0 - k s

t k = ln ⁡ v 0 v 0 - k s

e k t = v 0 v 0 - k s

s = v 0 k 1 - e - k t

Passo 2

Como definido no inicio do problema:

v = d s d t = d d t v 0 k 1 - e - k t

v = v 0 k 0 - e - k t - k

v = v 0 e - k t

Passo 3

Já a aceleração, é obtida como:

a = d v d t = d d t v 0 e - k t

a = v 0 e - k t - k

a = - k v 0 e - k t

Resposta

v = v 0 e - k t

a = - k v 0 e - k t

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