Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 27
Determine a força no membro da treliça carregada. Suponha que as quatro reações externas em , , e são iguais em magnitude e são direcionadas perpendicularmente à superfície de suporte local.
Passo 1
Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!
O enunciado nos pede para determinar a força que a barra da treliça está submetida devido às força aplicadas em e . O desenho é meio assustador né? Mas relaxa, vamos resolver aos poucos que vai dar tudo certo!
O primeiro passo aqui é determinar as reações em , , e . Como foi dito que elas são iguais em magnitude, vamos chama-las apenas de . Além disso, elas são perpendiculares aos apoios e eles estão inclinados em , então as reações também formam um ângulo de com a horizontal.
Com isso, podemos determinas as reações a partir do equilíbrio de forças na direção vertical:
Passo 2
Para descobrirmos o módulo, direção e sentido das forças atuando nas barras, precisamos sempre partir de um ponto/nó que tenha uma força com módulo, direção e sentido conhecidos.
Show! A partir disso, podemos analisar os nós da treliça separadamente, que devem estar em equilíbrio para que a treliça também esteja. Começando pelo nó . Olhando para o triângulo isósceles , podemos descobrir o ângulo entre e que é igual ao ângulo entre e :
Dessa forma:
Para facilitar nossos cálculos envolvendo ângulos, criamos um sistema de coordenadas -. Agora podemos fazer o equilíbrio de forças nessas direções:
Sempre que uma força apontar para o nó ela é de compressão , ou seja, tende a comprimir a barra. Se apontar para fora, ela é de tração e tende a alongar a barra.
Passo 3
Show, feito isso, vamos repetir esse procedimento para alguns outros nós até descobrirmos as forças em todas as barras. Analisando agora o nó . Olhando para o triângulo isósceles , temos o mesmo ângulo entre e que é igual ao ângulo entre e , a partir disso, temos que o comprimento da barra é:
Nós já calculamos o lado e foi dado que . Além disso, como , o ângulo entre e é:
E para a barra , usando a lei dos cossenos, temos:
Beleza! Agora vamos olhar para o triângulo . Podemos usar a lei dos senos para determinar o ângulo entre e
Lembrando que a reação em é perpendicular a , então ela forma um ângulo de com a direção de . Aqui também vamos usar um sistema de coordenadas - conveniente para fazer o equilíbrio de forças:
E, finalmente, utilizando as equações de equilíbrio de força, temos:
Como é um número negativo e nós já consideramos as direções reais, utilizamos o seu módulo nos cálculos.
Passo 4
Deu pra perceber que a parte chata desse problema é a geometria né? O equilíbrio dos nós é sempre bem mais simples. Mas calma vai dar certo, não desiste não!! Hahaha
Bora analisar o nó agora!
Como os triângulos e são idênticos, o ângulo entre e também é . Fazendo o equilíbrio de forças nas direções e :
Passo 5
Beleza! São muitas contas, mas até que não é difícil né? Agora, analisando o nó podemos, finalmente determinar a força na barra . Observe que o ângulo entre as barras e é igual ao ângulo entre as barras e , que por sua vez é igual ao ângulo entre as barras e .
Temos também pelo desenho que a barra faz com o eixo original e que a barra faz com o eixo , então, os ângulos entre e a horizontal () e e a horizontal (), são:
Como já temos , e , podemos determinar a partir do somatório de forças na direção :
Ou seja, podemos dizer que:
Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!
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