Enunciado

Determine a intensidade da força F , de modo que a força resultante das três forças seja a menor possível. Qual é a intensidade dessa força resultante mínima?

Passo 1

Queremos a intensidade e a direção da força resultante, sabemos que:

F R x = ∑ F R x

F R y = ∑ F R y  

Vamos começar pelas componentes em x , sabemos que tem o k , mas vamos deixá-lo pro final:

F R x = 8 - F cos ⁡ 45 ° - 14 cos ⁡ 30 °

F R x = - 4,1 - F cos ⁡ 45 °

Nossas componentes em y :

F R y = 14 sin ⁡ 30 ° - F sin ⁡ 45 °

F R y = 7 - F sin ⁡ 45 °

E nossa força resultante fica:

F R 2 = - 4 , 1 - F cos ⁡ 45 ° 2 + 7 - F sin ⁡ 45 ° 2

Passo 2

Nossa força resultante está em função de F , como queremos um ponto de mínimo se derivarmos dos dois lados e igualarmos a 0 descobriremos F no ponto de mínimo:

2 F R   d F R = ( 2 - 4 , 1 - F cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° + 2 ( 7 - F sin ⁡ 45 ° ) ( sin ⁡ 45 ° ) ) d F

F R d F R d F = - 4,1 - F cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° + ( 7 - F sin ⁡ 45 ° ) ( sin ⁡ 45 ° )

Igualando a 0, não se preocupa com o F R porque ele zera também:

0 = - 4,1 - F cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° + 7 - F sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 45 °

4,1 + F cos ⁡ 45 ° = 7 - F sin ⁡ 45 °

F ( cos ⁡ 45 ° + sin ⁡ 45 ° ) = 2,9

E então:

F = 2,05   k N

Passo 3

Finalmente, usando a equação do módulo:

F R = - 4,1 - F cos ⁡ 45 ° 2 + 7 - F sin ⁡ 45 ° 2

F R = - 4,1 - 2,05 cos ⁡ 45 ° 2 + 7 - 2,05 sin ⁡ 45 ° 2

F R = 7,85   k N

Resposta

F R = 7,85   k N

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Determine as componentes n e t da força F que a haste A B exerce sobre a manivela A O . Avalie sua expressão geral para F = 100N e (a) θ = 30 ° , β = 10 ° e (b) θ = 15 ° , β = 25 ° .