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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 92

Determine a intensidade necessária dos momentos de binário M 1 , M 2 e M 3 de modo que o momento de binário resultante seja M R → = - 300 i + 450 j - 600 k   N ⋅ m .

Passo 1

Primeiro, para sabermos a intensidade dos momentos vamos encontrá-los na forma vetorial, pois o enunciado nos fornece o momento resultante que provém da soma dos outros 3.

Analisando a figura, vemos que os momentos M 3 e M 1 pertencem inteiramente aos eixos z e y respectivamente, logo o momento M 3 só tem a componente em z e M 1 só em y .

Já o momento M 2 tem componentes somente em x e z . Fazendo:

M 1 → = 0 i + y 1 j + 0 k

M 2 → = - M 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + 0 j - M 2 ⋅ s e n   30 ° k

M 3 → = 0 i + 0 j - z 3 k

Podemos chegar a seguinte relação:

M R → = 0 i + y 1 j + 0 k + - x 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + 0 j - z 2 ⋅ s e n   30 ° k + 0 i + 0 j - z 3 k

= { - x 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + y 1 j - ( z 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3 ) k }

Passo 2

Vamos resolver o que encontramos no passo 1:

M R → = - M 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + y 1 j - M 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3 k

- 300 i + 450 j - 600 k = - M 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + y 1 j - M 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3 k

Igualando as componentes de cada lado:

- 300 = - M 2 ⋅ cos ⁡ 30 °

450 = y 1

- 600 = - M 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3

Passo 3

Então temos que:

- 300 = - M 2 ⋅ cos ⁡ 30 °

⇒ M 2 = 300 cos ⁡ 30 ° = 346,4

Logo:

M 2 → = - 346,4 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + 0 j - 346,4 ⋅ s e n   30 ° k

= { - 300 i + 0 j - 173,2 k }

Temos também:

- 600 = - M 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3

⇒ 600 = M 2 ⋅ s e n   30 ° + z 3

⇒ 600 = 173,2 + z 3

⇒ z 3 = 426,8

M 3 → = 0 i + 0 j - 426,8 k

Passo 4

Então encontramos o seguinte:

M 1 → = 0 i + 450 j + 0 k

M 2 → = { - 300 i + 0 j - 173,2 k }

M 3 → = 0 i + 0 j - 426,8 k

Agora vamos calcular as normas desses vetores para achar a intensidade de cada um.

M 1 → = 450 2 = 450

M 2 → = - 300 2 + - 173,2 2

= 90000 + 29998,24

= 119998,24 = 346,41

M 3 → = ( - 426,8 ) 2 = 4 26,8

Resposta

As intensidades de M 1 , M 2 e M 3 , são:

M 1 = 450   N ⋅ m

M 2 = 346,41   N ⋅ m

M 3 = 426,8   N ⋅ m

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